| 研究概要 |
マルチフラクタルの研究は,これまで等角的な写像の不変集合上の不変測度で準乗法的性質をもつものに対して行われてきた.準乗法的性質を持つ測度では,G.Brownらの結果により,測度の特異性スペクトルは定義されるすべての領域で自由エネルギーのルジャンドル変換と一致することが知られており,上に凸となる.
方向によって拡大率の違う写像の組の不変集合として,部分自己アファイン集合がある.部分自己アファイン集合上の自然な測度を射影すると,有限個の非負行列によって構成されるソフィック測度となる.非負行列の積で正行列と同様な性質を持つものがあることを使い,特異性スペクトルの最大値を与える特異性の値よりも小さい領域で,既約な遷移行列を持つソフィック測度の特異性スペクトルが自由エネルギーのルジャンドル変換と一致することを示した.特異性スペクトルの最大値を与える特異性の値より大きい特異性の領域で,特異性スペクトルが自由エネルギーのルジャンドル変換と一致しない例を構成した.これは,これまでマルチフラクタルの研究の対象となってきた測度とは大きく異なる特徴である.
部分自己アファイン集合の断面の次元が射影した測度の特異性に線型に対応していることを用いて,断面の次元の分布を特徴づける次元スペクトルの性質を調べることができる.次元スペクトルは,その最大値を与える次元よりも大きい次元の領域で,その自由エネルギーのルジャンドル変換と一致することがわかる.またこのことから,部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元が断面の次元と次元スペクトルとの和の最大値と一致することを示した.
これらの成果をもとに,今後高次元の部分自己アファイン集合の性質,および,部分自己アファイン集合上のソフィック測度のマルチフラクタル的性質について調べたい.
|
