| 研究概要 |
これまでマルチフラクタルとしての性質が厳密に調べられてきた測度は,多くの場合,準乗法的性質を持ち,その特異性スペクトルは全ての領域で自由エネルギーのルジャンドル変換と一致する(マルチフラクタル公式が成立する).準乗法的性質を持たない既約なソフィック測度に対して,特異性スペクトルの最大値を与える特異性の値よりも小さい領域で,マルチフラクタル公式が成立することを示し,また他の領域でマルチフラクタル公式が成立しない例を構成した.
ソフィック測度のマルチフラクタル公式を使って,高次元の部分自己相似集合および2次元の部分自己アファイン集合の次元スペクトルの性質を調べ,次元スペクトルの最大値を与える次元よりも大きい次元の領域で,その自由エネルギーのルジャンドル変換と一致することを示し,また,部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元と次元スペクトルとの関係を明らかにした.
また,自己アファインコサイクルに対して,Mandelbrot-van Ness変換によりその性質を連続的に変化させることが出来ることを示した.自己アファインコサイクルのこれまでの構成法では,可算個の次数のスケーリングしかとりえず,その結果ヘルダー指数,ボックス次元なども可算個に限られる.MandelbrotとVan Ncssは時間的な相関のないブラウン運動に対して時間的な相関を積分で与える変換を考え,非整数ブラウン運動を構成した.Mandelbrotとvan Nessの変換を自己アファインコサイクルに適用し,その結果がまた自己アファインコサイクルとなることを示した.これにより,0と1との間の任意の次数のスケーリングをもつ自己アファインコサイクルを構成することができる.また,このようにして構成した自己アファインコサイクルのヘルダー指数,ボックス次元,パワースペクトルなどを調べた.
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