| 研究概要 |
3次元多様体の普遍摂動不変量についての研究をすすめている。この不変量は,結び目の普遍Vassiliev-Kontsevich不変量を用いて構成されている。普遍Vassiliev-Kontsevich不変量は,結び目の量子不変量や有限型不変量といった,多くの不変量を統合した。それゆえ,普遍摂動不変量も3次元多様体の多くの不変量を統合すると期待されている。
まず最初に,結び目の普遍Vassiliev-Kontsevich不変量から出発して,3次元多様体の普遍摂動不変量を構成した。実際には,不変量の族が得られるのであるが,これらの不変量にはお互いに関係があり,まとめて考えることができることを示した。構成するにあたっては,3次元多様体を結び目を用いて表示する方法を用い,Kirbyの変型と呼ばれるもので不変となるようなものを普遍Vassiliev-Kontsevich不変量から取り出した。
次に,普遍摂動不変量を,境界のある3次元多様体に対して拡張した。そして,位相的場の理論の立場から考察した。例えば,2つの3次元多様体を境界で張り合わせたときに不変量がどうなるか,といった性質について研究した。
さらに,このことをもちいて,曲面の写像類群の表現を構成する一般的な手法を得た。この群は,対応する曲面を境界とする3次元多様体の普遍摂動不変量に作用するのだが,この作用を調べる方法を提示し,簡単な場合について具体的な表示を得た。この方法により,写像類群を用いて定義されている不変量と,普遍摂動不変量とを比較することが可能となり,普遍摂動不変量と他の様々な3次元多様体の不変量との比較に役立つと期待される。
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