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有限的に幾何的対象を扱うという点から、組み合わせ的な立場で定義される絡み目、及び結び目の量子不変量、普遍量子不変量は現在の問題設定以上に広範な意味を持つ可能性があるように考える。ここでの位相不変性や可解性の基礎にYang-Baxter方程式があり、その解の標準的構成法としてDrinfel′dによる量子二重構成法がある。この普遍R-行列はHopf代数の恒等写像に対応しているので、これを一般の写像λに拡張する研究を行った。院生の福田氏がやや複雑な条件の下でλ^2=idという十分条件を発見し、久我はこの条件がλが双代数射であれば常にみたされることに気づいたので、Hopf代数Aの双代数射λ∈End(A)がλ^2=idを満たせば、これによってtwistされたHopf代数A^*【cross product】^λA_<op>が定義され、この双対代数D_λ(A)=(A^*【cross product】^λA_<op>)^*はλに対応して決まる普遍R-行列を持つ準三角量子群となる、という結果にまとめられた。この証明は複雑なテンソルの計算であるが、これを図式化することによって、議論の双対性、対称性が明白にあらわれ形に定式化することができた、これらの結果を現在下記論文として準備中ある。またこれと平行して、組み合わせ的3次元量子普遍不変量を4次元に応用する問題も研究したが、現在のところ4次元多様体の指数を得るにとどまっている。以上の研究経過は研究課題の部分的な側面に限定されているようにもみえるが、有限幾何の定式化は実質的にこのような方向で進むものと期待される。
現在プレプリント Fukuda-Kuga: Generalized quantum doubles(1999)投稿準備中
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