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本年度の研究においては、同形概念を弱くとらえて、線形順序が埋め込めるかどうかについて考察を加えた。その意味は、eq-構造(もとの構造を同値関係で割って出来る構造)で線形順序と同形なものがあるか否かを考察することである。
まず次の定義を与える。Mを無限順序構造とする。勝手なm個の元をその構造から持ってきたとき、その中に少なくとも1組の比較可能な元があるとき、Mをm-線形的であると呼ぶことにする。明らかにm=2のときは、線形性を意味して、mが大きくなるほど本来の線形性から離れてゆく。
しかしながら、無限ラムゼ-の定理によれば、Mは無限の線形部分順序構造を持つことは分かる。もっとも、それは超越的に定まるのであって、(eq-)理論式で書かれるとは限らない。しかし、次が成立することを発見した。
*)Tをm-線形的な理論とする。このとき、Tは線形順序構造を翻訳(eqの意味でinterpret)する。
また、翻訳の意味を強く制限して、パラメータを許さないということにすれば、上の(*)に反例が存在する。これは次の結果から分かる:
**)Mを線形順序とする。フィルターFがある種の性質を持てば、MのFによる積はいかなるm-線形順序もパラメータなしでは翻訳しない。またMのm個の積はm上の自明なフィルターによる積と考えられるが、この構造はm-線形順序をパラメータなしでは翻訳しない。
なお上記研究結果は若井健太郎氏(筑波大学大学院研究生)との共同研究の中で得られたものである。
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