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今年度は、非摂動繰り込み群方程式の最初の近似としての局所ポテンシャル近似をオペレータ展開して解く問題についてこれまでより詳しい解析を行い、いくつかの事実を発見した。
これまでの結果では、有効ポテンシャルをオペレータの多項式で展開して表現する場合に、その展開原点を通常の0の所にするよりも、ポテンシャルの底からの動的な展開を採用する方法がはるかに良い収束性を得る事がわかっていた。ところが、この収束性の改善を具体的に評価していくと、展開の更に高次の項では収束が終焉し、ついには発散に転じている様である事がわかった。その収束限界と、収束限界付近での振動周期の解析から、この収束限界が、複素座標で有効ポテンシャルをみたときの複素singularityに支配されていることがわかった。すると、このsingularityより遠い点を展開原点とするほど良い収束性が得られると予想されるが、それも事実であることがわかった。副産物として、これまでの最高精度で局所ポテンシャル近似での臨界指数を評価する事ができた。
また、これらの収束性の議論は、臨界点での臨界指数や、臨界ポテンシャルの底の位置などのいわば臨界での物理量について行われて来たが、我々は更に、くりこみ群方程式を解いていったマクロにおける有効ポテンシャル、つまりrenormalized trajectoryについての収束性を調べた。すると、臨界での収束性の良し悪しがマクロでの収束性の良し悪しと対応していることがわかった。
ポテンシャルの底を原点とする動的な展開は、いわゆるLarge N極限で特別な意味を持つ事が我々によって明らかにされているが、その場合の具体的なオペレータの表現などの理解を進めた。
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