| 研究概要 |
シュレディンガー方程式の散乱問題について,関数解析,フーリエ変換,偏微分方程式などの手法を用いて研究を行った.特に,散乱多様体上の長距離型シュレディンガー方程式の散乱問題について,修正型波動作用素の存在を示した.
シュレディンガー方程式とは,電子の運動を表現する偏微分方程式であり,量子力学において中心的な役割を果たしている.中でも散乱問題は,実験による検証が可能であるため,量子力学におけるもっとも重要な問題の一つとして研究されてきた.散乱多様体という,ある種の曲がった空間上でシュレディンガー方程式を考えることができ,時間に依存する散乱問題が展開できることが近年分かってきていた.
本研究では,散乱多様体上のシュレディンガー方程式において長距離型のポテンシャルが摂動項として存在する場合について,修正型波動作用素を構成し,またそれが存在することを証明した.このために,まずは散乱多様体上の古典力学を研究した.より一般に,時間に依存して減衰する力のもとでの古典力学的な軌道を調べた.そしてそれを用いて時間に依存しない,長距離型のポテンシャルのもとでの古典力学的軌道を調べ,とくにその初期条件への依存性を研究した.この結果をもとに散乱多様体上のハミルトン・ヤコビ方程式の解を構成し,その解を用いて修正型波動作用素の構成し,その存在を証明した.
この成果は,長距離型の散乱多様体上のシュレディンガー方程式について,波動作用素や散乱行列等の性質を考祭するうえで基礎となる結果である.
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