離散凸解析を軸とする離散最適化アルゴリズム

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10205212
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 室田 一雄 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50134466)
• 研究分担者: 降旗 大介 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (80242014) ; 塩浦 昭義 上智大学, 理工学部, 助手 (10296882) ; 田村 明久 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (50217189)
• キーワード: 組合せ最適化 / 凸解析 / アルゴリズム / 離散凸関数 / 付値マトロイド

研究概要

本課題では、「離散凸解析」の枠組みに基づき、一般の組合せ最適化問題に対する効率的なアルゴリズムを構築することを主たる目的としている。本年度は以下の成果をあげ、これらは論文としてまとめ、学会等での口頭発表、学術雑誌への投稿を行なった。
・[室田、塩浦]離散凸関数の概念としては、Millerによる離散凸関数、Favati-Tardellaによる整凸関数、MurotaによるM凸/L凸関数、Murota-ShiouraによるM^#凸関数、Fujishige-MurotaによるL^#凸関数が提案されていた。ここではこれらの関係を明らかにし、フェンシェル-ルジャンドル変換などについて各種凸性の性質を調べた。アルゴリズムおよぶ計算量の観点からは、M凸/L凸関数の最小化は多項式時間で解けることは既知であるが、他のものについては現在不明であり今後の課題である。
・[塩浦]分担者塩浦は、McCormick、Schulz、Weismantelらとの共同研究として、最小比閉路消去法が混合整数計画問題に対しても有用であることを示した。すなわち、ある種の負閉路を求めるオラクルを弱多項式回用いることで混合整数計画問題が解けることを示した。実用的観点からは、このオラクルをいかに効率的に実現するかが今後の課題である。
・[室田、田村]付値マトロイドはマトロイドの基族上の付値としてDress-Wenzelにより当初提案された。これはMurotaによりM凸/L凸関数へと拡張され、独立マッチング問題の付値マトロイドへの拡張などアルゴリズムの観点からも充分な成果を得ている。ここでは、付値マトロイドのサーキット族上の最適化問題とそのアルゴリズム研究の基礎固めとして、付値マトロイドのサーキット族の公理系、双対性、二者択一性による特徴付けなどの研究を行なった。

研究成果

• [文献書誌] K. Murota: "Submodular Flow Problem with a Nonseparable Cost Function"Combinatorica. 19. 87-109 (1999)
• [文献書誌] K. Murota and A. Shioura: "M-Convex Function on Generalized Polymatroid"Mathematics of Operations Research. 24・1. 95-105 (1999)
• [文献書誌] S. T. McCormick and A. Shioura: "Minimum Ratio Canceling is Oracle Polynomial for Linear Programming, but Not Strongly Polynomial, Even for Networks"Operations Research Letters. (掲載予定).
• [文献書誌] A. Shioura: "Level Set Characterization of M-convex Functions"IEICE Transactions. (掲載予定).
• [文献書誌] A. Tamura: "Perfect (0, ±1)-Matrices and Perfect Bidirected Graphs"Theoretical Computer Science. (掲載予定).
• [文献書誌] D. Furihata: "Finite Difference Schemes for (∂u)/(∂t) = (∂/(∂x))^α(δG)/(δu) That Inherit Energy Conservation or Dissipation Property"Journal of Computational Physics. 156. 181-205 (1999)
• [文献書誌] K. Murota: "Matrices and Matroids for Systems Analysis (Algorithms and Combinatorics 20)"Springer-Verlag. 483 (2000)