グラフ・ネットワーク問題を解くアルゴリズムの開発

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10205213
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 永持 仁 京都大学, 情報学研究科, 助教授 (70202231)
• キーワード: 離散最適化 / グラフアルゴリズム / ネットワーク問題 / 最小カット問題 / 近似アルゴリズム / 協力ゲーム / グラフ連結度 / 劣モジュール関数

研究概要

いくつかのグラフ、ネットワーク問題に対する高速アルゴリズムの開発と、協力ゲーム理論のコアの計算複雑度についての研究を行った。主に対象としたグラフ、ネットワーク問題は、グラフの最小分割問題とグラフの連結度増大問題である。以下、n,mをそれぞれグラフの点数、枝数とする。無向グラフの点の集合を指定された個数kの(空でない)部分集合に分割したものをk-分割と呼び、部分集合間の枝集合をこのk-カットという。枝に重みをもつ無向グラフにおいて、重み最小のk-カット(k=3,4,5,6)を求める問題に対し、従来の計算量をO(n^km)に改善した。また、この問題に対し、最小3-カットを繰り返し適用するアルゴリズムにより、k-カットを構成すると近似比2-3/kの性能を持つことを示した。これは従来の最小2-カットを利用した2-2/k近似アルゴリズムの改良となっている。また、グラフの2つの部分集合をどちらも均等に分ける2-分割で、しかも分割のどちらも連結なグラフを誘導するものを求める問題に対し、グラフが3点連結のときには、そのような2-分割をO(n^2)時間で見つけられることを示した。次に、グラフの連結度増大問題については、枝連結度を増大する問題に対しては、目標の連結度が実数値である場合の解法、新しい枝の接続する点数を最小化する場合の解法や枝分離手法を使ったO(nm)時間のアルゴリズムを提案した。枝連結度を劣モジュラ関数と見た拡張についての研究も行っている点連結度を増大する問題に対し、重み付き3点連結化問題の1つの近似解法を示した。この他、枝連結度と点連結度を同時に増大する問題について研究を行い、いくつかの多項式アルゴリズムを得た。最後に、組合せ最適化問題から派生する協力ゲームのコアの取り扱いについて、行列を用いた一般的な枠組みを提案し、コアの計算複雑度についていくつかの結果を得た。

研究成果

• [文献書誌] H. Nagamochi: "Augmenting edge-connectivity over the entire range in δ(nm) time"J. Algorithms. 30. 253-301 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "An approximation of the minimum vertex cover in a graph"J. of Japan Society for Industrial and Applied Math.. 16. 369-375 (1999)
• [文献書誌] X. Deng: "Algorithmic aspects of the core of combinatorial optimization games"Math. of Operations Research. 24. 751-766 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A Simple proof of a minimum cut algorithm and its applications"Inst. Electron. Inform, Comm, Eng. Trans, Fundamentals. E82-A. 2231-2236 (1999)
• [文献書誌] P. Eades: "Drawing clustered graphs on an orthogonal grid"J. Graph Algorithms and Application. 3. 3-29 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A simplified o(nm) time edge-splitting algorithm in undirected graphs"Algorithmica. 26. 56-67 (2000)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A fast algorithm for computing minimum 3-way and 4-way cuts"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1610. 377-390 (1999)
• [文献書誌] T. Ishii: "Augmenting an (l-1)-vertex-connected multigraph to a k-edge-connected and l-vertex-connected multigraph"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1643. 414-425 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "An approximation for finding a smallest 2-edge-connected Subgraph containing a specified spanning tree"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1627. 31-40 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A faster algorithm for computing minimum 5-way and 6-way cuts in graphs"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1627. 164-173 (1999)
• [文献書誌] H. Nagamochi: "Bisecting two subsets in 3-connected graphs"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1741. 425-434 (1999)
• [文献書誌] L. Zhao: "Approximating the minimum ktway cut in a graph via minimum 3-way cuts"Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag. 1741. 373-382 (1999)
• [文献書誌] T. Ishii: "Optimal angmeutation of a 2-vertex-connected multigraphr to a K-edge- connected and 3-vertex-connected multigraph"J. Combinatorial Optimization. (発売予定).
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A fast algorithm for cactus representations of minimum cuts"J. of Japan Society for Industrial and Applied Math. (発売予定).
• [文献書誌] H. Nagamochi: "A 7/3-approximation for the minimum weight 3-conhecteal Spanning subgraph problem"Inst. Electron, Inform, Comm. Eng. Trans, Fund.. (発売予定).
• [文献書誌] H. Nagamocbi: "Polyhealral structure of submodular and posi-modular systems"Discrete Applied Mathematics. (発売予定).
• [文献書誌] X. Deng: "Totally balanced combinatorial optimization games"Mathematical Programming. (発売予定).
• [文献書誌] H. Nagamochi: "Recent deuelopment of graph connectivity augmentation algorithms"Inst. Electron. Inform, Comm. Eng. Trans. Fund.. (発売予定).
• [文献書誌] 永持仁: "離散構造とアルゴリズムVI、第3章"近代科学社. 39 (1999)