モジュライ空間の研究とK3ムーンシャイン

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10304001
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 向井 茂 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80115641)
• 研究分担者: 浪川 幸彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20022676) ; 行者 明彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (50116026) ; 梅村 浩 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022678) ; 金銅 誠之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50186847) ; 寺西 鎮男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20115603)
• キーワード: モジュライ / K3曲面 / 有界対称領域 / ラータ関数 / 基本領域 / アーベル曲面 / 不変式 / 佐武コンパクト化

研究概要

ベクトル束のモジュライ空間については基礎理論の再構築とVerlinde公式の研究を行い、同時にK3曲面、Abel曲面のモジュライを研究した。Abel多様体や曲線についても研究の最前線に触れる機会を得た。
1.曲線のJacobi多様体やベクトル束のモジュライをQuotスキーム、descent理論、Hibert-Mumford判定法等を用いることなく初等的に構成することに成功した。(8月にイタリアのTrieste研究所で、2月に英国Warwick大学にて発表した。)
2.曲線上のベクトル束のモジュライに対するVerlinde公式に対して知られている代数幾何的証明の精神でもって、射影直線上の放物的ベクトル束に対するVerlinde公式の証明を3つ与えた。特に、モジュライ空間のコホモロジー環を決定するZagierの方法に着目した。(これについては2月にOxford大学において講演した。)
3.2重レベル構造付きのAbel曲面のモジュライの研究を続けた。新結果は得られなかったが、8月にドイツのOberwolfach研究所で発表し、Barth教授と議論することができた。
4.金銅(研究分担者)は編極K3曲面のモジュライにBorcherdsの保型形式を制限したものを研究し、多くの次数(17個)に対してモジュライ空間の小平次元が負でないことを証明した。
5.11月には名古屋大学にV.Alexeev教授(Georgia大学)を迎え、Abel多様体のモジュライ空間のコンパクト化の連続講演をしていただいた。(浪川教授と共同)
6.1,2月には京都大学数理解析研究所に滞在中のE.Getzler教授(Northwestern大学)に来てもらい、曲線のモジュライ空間のコホモロジー環やGromov-Witten不変量のVirasoro制限についての講演をしてもらった。(キリロフ教授と共同)

研究成果

• [文献書誌] MUKAI,Shigeru: "Lattice theoretic construction of symplectic actions on K3 surfaces"Duke Math. J.. 92. 599-603 (1998)
• [文献書誌] MUKAI,Shigeru: "Duality of polarized K3 surfaces"Proc.Euroconference on Algebraic Geometry. 107-122 (1999)
• [文献書誌] UMEMURA,Hiroshi: "Solutions of the third Painleve equation"Nagoya Math. J.. 151. 1-24 (1998)
• [文献書誌] UMEMURA,Hiroshi: "On the transformation group of the second Paninleve equation"Nagoya Math. J.. 157. (2000)
• [文献書誌] KONDO,Shigeyuki: "Niemeier Lattices, Mathieu groups, and finite groups of symplectic automorphisms of K3 surfaces"Duke Math. J.. 92. 593-598 (1998)
• [文献書誌] KONDO,Shigeyuki: "On the Kodaira dimension of the moduli space of K3 surfaces II"Compositio Math.. 116. 111-117 (1999)
• [文献書誌] 向井茂: "岩波講座「現代数学の展開」、モジュライ理論 I"岩波書店. xiv+176 (1998)
• [文献書誌] 向井茂: "岩波講座「現代数学の展開」、モジュライ理論、 II"岩波書店. 220 (2000)