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2001 年度 研究成果報告書概要

モジュライ空間の研究とK3ムーンシャイン

研究課題

研究課題/領域番号 10304001
研究種目

基盤研究(A)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 代数学
研究機関京都大学 (2001)
名古屋大学 (1998-2000)

研究代表者

向井 茂  京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80115641)

研究分担者 中山 昇  京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10189079)
橋本 光靖  名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10208465)
金銅 誠之  名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (50186847)
齋藤 政彦  神戸大学, 理学部, 教授 (80183044)
藤野 修  京都大学, 数理解析研究所, 助手 (60324711)
研究期間 (年度) 1998 – 2001
キーワードモジュライ / ベクトル束 / 不変式 / Verlinde公式 / 共形ブロック / Hilbertの第14問題 / 基本領域 / K3曲面
研究概要

1)幾何学的不変式論を再構成した。また、曲線状のベクトル束のモジュライ空間をQuotスキームというものを使わずに構成した。両者相まってベクトル束のモジュライ理論は大幅に簡易化され見通しよくなった。多くの発展がこの基礎付けのもとになされると期待する。(例えば、Jacobi多様体の退化)
2)放物や安定対のような構造付きベクトル束のモジュライも上と同じように構成が見通しよくなった。おかげで共形ブロックの個数に関するVerlinde公式を不変式環のHilbert級数の明示と捉えることができるようになった。この公式の周辺に集まる多くの数学(アフィンLie環、Hecke環や量子群など)を不変式の観点から純代数的に理解できるようになると期待している。。
3)穴あきRiemann球(=点付き射影直線)上の構造付きベクトル束のモジュライのmaster spaceは2次元加法群の多項式環への平方零作用の不変式環をその座標環としてもつ。このことより、この環の有限生成性が従う。これと下の成果を合わせて加法群の平方零作用に対するHilbertの第14問題を解決した。(2002年3月学会で報告)
4)永田の反例を改良することによって3次元加法群の18変数多項式環への平方零作用の不変式環で無限生成なものを構成した。この環と、5次元射影空間を9点で爆発したものの全座標環との間の同型(永田トリック)が重要であるが、これの新証明も与えた。
5)二つのK3曲面の直積上のある種のHodgeサイクルの代数性(Shafarevich予想)に対して新しい証明を見つけた。
6)偏極Abel曲面に対して2重レヴェルを考案し、それ付きのモジュライを研究した。(1,d)型でdが5以下のときは正多面体群を使って綺麗な多様体になる。今後は次元公式を計算し、保型形式環を研究すべきと考えている。

  • 研究成果

    (14件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (14件)

  • [文献書誌] MUKAI, Shigeru: "Duality of polarized K3 surfaces"Proc. Euroconference on Alg. Geom.. 107-122 (1998)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] MUKAI, Shigeru: "Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group"RIMS preprint. 1343. 1-12 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] KONDO, Shigeyuki: "On the Kodaira dimension of the moduli space of K3 surfaces II"Compositio Math.. 116. 111-117 (1999)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] KONDO, Shigeyuki: "A complex hyperbolic structure of the moduli space of curves of genus three"J. reine angew. Math.. 525. 219-232 (2000)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] SAITO, Masa-Hiko, UMEMURA, Hiroshi: "Painleve equations and deformations of rational surfaces with rational double points"Physics and combinatorics. 320-365 (1999)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] SAITO, Masa-Hiko: "The modularity conjecture for rigid Calabi-Yau threefolds over Q"J. Math. Kyoto Univ.. 41. 403-419 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] 向井 茂: "モジュライ理論1, 2"岩波書店. 455 (2000)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [文献書誌] MUKAI, Shigeru: "Duality of polarized K3 surfaces"New Trends in Alg, Geom., Cambridge Univ. Press. 107-122 (1998)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] MUKAI, Shigeru: "Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group"RIMS preprint. 1343. 1-12 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] MUKAI, Shigeru: "Introduction to invariants and moduli, English translation of the 2-volume book published from Iwanami Shoten"to appear from Cambridge University Press in 2001.

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] KONDO^^-, Shigeyuki: "On the Kodaira dimension of the moduli space of K3 surfaces II"Compositio Math.. 116. 111-117 (1999)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] KONDO^^-, Shigeyuki: "A complex hyperbolic structure of the moduli space of curves of genus three"J. reine angew. Math.. 525. 219-232 (2000)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] SAITO Masa-Hiko, UMEMURA Hiroshi: "Painleve equations and deformations of rational surfaces with rational double points"Physics and Combinatorics, World Scientific. 320-365 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [文献書誌] SAITO, Masa-Hiko: "The modularity conjecture for rigid Calabi-Yau threefolds over Q"J. Math. Kyoto Univ.. 41. 403-419 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より

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公開日: 2003-09-17  

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