偏微分方程式と微分幾何の特異点論的研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10304003
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 泉屋 周一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127422)
• 研究分担者: 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565) ; 儀我 美一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70144110) ; 山口 佳三 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00113639) ; 清原 一吉 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80153245) ; 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161)
• キーワード: ヘルムホルツ方程式 / 漸近解 / 特性曲線 / ローレンツ微分幾何学 / 双曲平面 / ベルトラン曲線 / 線織面 / コンピュータ・グラフィックス

研究概要

当研究における偏微分方程式への特異点論の応用に関しては、昨年度から開始した液体音響学や地震波の研究で重要なヘルムホルツ方程式の漸近解の研究へ特性曲線の方法を応用する試みを推進し、その結果、境界を持つ場合や屈折係数が区分的に滑らかな連続関数で与えられる場合に特殊な特異点が現れることを確認した.さらに、2階のモンジュ・アンペール型方程式については、その特別な場合である、非線形波動方程式についてその解の特異性と弱解の対応が以前の解釈では理解できないという現象を発見した.現在その現象を厳密に理解できるための枠組みの構成をおこなっている.
一方の微分幾何学への応用については、前年度に研究したローレンツ微分幾何学における曲線の理論や双曲平面上の曲線の理論への特異点論の応用を発展させて、双曲空間内の曲面の理論へ特異点論を応用し、その微分幾何学的不変量を導きだした.この不変量の幾何学的意味を理解するのが来年度以降の課題である.また、古くから知られている、定傾曲線及びベルトラン曲線と言ったいわゆる特殊曲線をその曲線が載っている線織面の性質による解釈を与えた.これらの、曲線は発見されてから200年ほどの歴史を持つものであるが、この様な立場からの研究は皆無であった.さらに、そこに現れた線織面の特異点の分類及びその幾何学的意味付けを与えた.これらの特異点の分類のために、具体的に線織面の図をコンピュータで描くことによって現れる特異点がどのようなものかを予測して証明するという手法がとられ、コンピュータ・グラフィックスが研究推進上大変有効であった.

研究成果

• [文献書誌] S. IZUMIYA: "A time-like surface in Minkowski 3-space which contains light-like lines"Journal of Geometry. 64. 95-101 (1999)
• [文献書誌] S. IZUMIYA: "The rectifying developable and the spherical Darbox image of a space curve"Banach center Publication, Caustics 98. 50. 137-149 (1999)
• [文献書誌] 泉屋周一: "一階偏微分方程式の解の特異性について"数学. 52巻1号. 16-30 (2000)
• [文献書誌] Y. GIGA: "On strong maximum principle and large time behavior of generalized mean curvature flow with the Neuman boundary condition"Jonrnal of Differentiel Equations. 154. 107-131 (1999)
• [文献書誌] Y. GIGA: "On semicontinuous solutions for general Hamilton-Jacobi equations"Proc. Japan Acad.. 75・9. 159-162 (1999)
• [文献書誌] H. Furuhata: "An intrinsic characterization of isometric pluriharmonic immersions with codimension one"Journal of Geometry. 65. 111-116 (1999)
• [文献書誌] T. Fukui: "Butterflies and umbilics of stable perturbations of analytic map-germs (C^5_1O)→(C^4_1O)"London Math. Soci Lecture Notes Series. 263. 369-378 (1999)
• [文献書誌] G Ishikawa: "Determinacy, Transversality and Lagrange Stabilty"Banach Center Publications. 50. 123-135 (1999)
• [文献書誌] G. Ishikawa: "Developable submanifolds and homogeneous space in a veal projetive space"Lovachevsky Journal of Mathematics. 3. 113-125 (1999)
• [文献書誌] T. Morimoto: "On decomposable Monje-Ampere equations"Lovachevsky Journal of Mathematics. 3. 185-196 (1999)
• [文献書誌] T. Ozawa: "A generalization of Arnol'ds strangeness invariant"Journal of knot theory and its Ramifications. 8・5. 551-567 (1999)
• [文献書誌] T. Ozawa: "Linearizations of ordinary differential equations by area preserving maps"Nagoya Math. J.. 156. 109-122 (1999)
• [文献書誌] K. Ono: "Arnol'd conjecture and Gromov-Witten invariant"Topology. 38. 933-1048 (1999)
• [文献書誌] K. Ono: "Simple singularities and topology of symplectically filling 4-manifolds"Commentari Mathematici Helvetici. 74. 575-590 (1999)
• [文献書誌] 儀我美一: "非線形偏微分方程式 ―解の漸近挙動と自己相似解"共立出版. 300 (1999)