離散幾何における組合せ論的手法

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10304008
• 研究種目: 基盤研究(A)
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 斎藤 明 日本大学, 文理学部, 助教授 (90186924)
• 研究分担者: 太田 克弘 慶応義塾大学, 理工学部, 助教授 (40213722) ; 榎本 彦衛 慶応義塾大学, 理工学部, 教授 (00011669) ; 金子 篤司 工学院大学, 工学部, 助教授 (30255608) ; 渡辺 守 倉敷芸術科学大学, 産業科学技術学部, 教授 (90068916) ; 前原 濶 琉球大学, 教育学部, 教授 (60044921)
• キーワード: 離散幾何 / 組み合せ論 / グラフ理論 / 照明問題 / 刑務所問題 / ハミルトングラフ / 単位距離グラフ / 閉包

研究概要

本研究は3年という期間の中で離散幾何における組み合せ論的手法を発展させ、方法論として確立することを目的としている。本年度はその初年度にあたり、離散幾何の問題の組み合せ論的側面の抽出とグラフ理論の問題を離散幾何に応用するための基礎技術の開発を目指した。以下にその研究成果の代表的なものを挙げる。
・ 三角形に対する各種の刑務所問題は比較的簡単に解かれるため、刑務所問題においては与えられた多角形を三角形に分割するアプローチがしばしば取られる。この際、1つの三角形分割からより望ましい三角形分割に変形する操作が求められる。本研究者はそのための一般的な枠組みとして対角変形という変形操作を開発し、ある程度頂点数の大きい三角形分割においては対角変形が極めて良い振る舞いを示すことを証明した。
・ 照明角が制限された照明問題は刑務所問題の1つであるが、この問題の持つグラフ理論的な側面を抽出した。
・ グラフ理論上の成果を離散幾何に応用するための方法の1つとして、グラフを細分して単位距離グラフに変換する手法を開発した。
・ 離散幾何の問題にはグラフのハミルトン性に帰着するものが多い。一方グラフのハミルトン性を調べる1つの手法として閉包と呼ばれる変形操作がある。本研究者はクローフリーグラフと呼ばれるグラフのクラスの上で極めて良い振る舞いを示す新しい閉包操作を開発した。
・ 離散幾何にはグラフの因子分解に帰着するものも多い。因子分解においては今まで3部以上の部集合を持つ他部グラフについてはほとんど何も知られていなかったが、本研究者は3部グラフを調べる手法を開発し、それを用いて完全3部グラフの完全2部グラフへの因子分解の問題を解決した。
本研究ではそのほかにも多くの知見が得られており、初年度の研究は目的を達成したと考えられる。

研究成果

• [文献書誌] T.Asano and T.Tokuyama: "Topological walk revisited" IEICE Trans.on Fundamentals. E81-A・5. 751-756 (1998)
• [文献書誌] 浅野,木村,嶋津: "画像の等高線表現とその応用" 情報処理学会論文誌. 39・12. 3242-3251 (1998)
• [文献書誌] 関根京子,今井浩,今井桂子: "Jones多項式の計算" 日本応用数理学会論文誌. 8・3. 341-354 (1998)
• [文献書誌] K.Imai and H.Imai: "Dynamic weighted Voronoi diagrams and weighted minimax matching of two corresponding points sets" Optimization Methods and Software. 10・2. 261-274 (1998)
• [文献書誌] H.Enomoto: "Toughness and the existence of k-factors.III" Discrete Mathematics. 189. 277-282 (1998)
• [文献書誌] H.Enomoto, M.Hagita and M.atsumoto: "A note on difference sets" J.Combinatorial Theory (Ser.A). 133-144 (84)
• [文献書誌] H.Enomoto, Y.Oda and K.Ota: "Pyramidal tours with step-backs and the asymmetric travelling salesman problem" Discrete Applied Mathematics. 34. 57-65 (1998)
• [文献書誌] H.Enomoto, A.S.Llado, T.Nakamigawa, G,Ringel: "Super edge-magic graphs" SUT Journal of Mathematics. 34. 105-109 (1998)
• [文献書誌] T.Ikeda and H.Imai: "Enhanced A^* algorithms for multiple alignments : optimal alignments for several sequences and k-opt approximate alignments for large cases" Theoretical Computer Science. 210・2. 341-374 (1999)
• [文献書誌] K.Hayase and H.Imai: "OBDDs of a monotone function and of its prime implicants" Theory of Computing Systems. 31. 579-591 (1998)
• [文献書誌] A.Kaneko: "On decomposition of triangle-free graphs under degree constraints" Journal of Graph Theory. 27. 7-9 (1998)
• [文献書誌] A.Kaneko and M.Watanabe: "String decomposition of graphs" Ars Combinatoria. 49. 225-236 (1998)
• [文献書誌] A.Kaneko, H.Maehara and M.Watanabe: "On the number of acute triangles in a straight-line embedding of a maximal planar graph" J.Combinatorial Theory (Ser.B). 75. 110-115 (1999)
• [文献書誌] Cai Maocheng, Li Yanjun, and M.Kano: "A [k, k+1] -factor containing given Hamiltonian cycle" Science in China (Ser.A). 41. 933-938 (1998)
• [文献書誌] Y.Itoh and H.Maehara: "A variation to the ruin problem" Mathematica Japonica. 47. 97-102 (1998)
• [文献書誌] H.Maehara: "A minimal rigid graph in the plane that is not constructible by ruler and compass" Yokohoma Math.J.45. 109-111 (1998)
• [文献書誌] H.Maehara and M.Matsumoto: "Is there a circle that passes through a given number of lattice points?" European J.Combinatorics. 19. 591-591 (1998)
• [文献書誌] H.Maehara: "Embedding a set of rational points in lower dimensions" Discrete Math.192. 273-279 (1998)
• [文献書誌] H.Maehara: "Vector fields and quadratic surfaces" Ryukyu Math.J.11. 53-63 (1998)
• [文献書誌] S.Negami: "Ramsey-type theorems for spatial graphs and good drawings" J.Combinatorial theory (Ser.B). 72. 53-62 (1998)
• [文献書誌] S.Negami: "Diagonal flips in triangulations of closed surfaces estimating upper bounds" Yokohama Math.J.45. 113-124 (1998)
• [文献書誌] P.Frankl, K.Ota and N.Tokushige: "Uniform intersecting families with covering number restrictions" Combinatorics, Probability & Computing. 7. 47-56 (1998)
• [文献書誌] P.Frankl and N.Tokushige: "Some inequalities concerning cross-intersecting families" Combinatrorics,Probability & Computing. 7. 247-260 (1998)
• [文献書誌] B.Bollobas,O.Riordan,Z.Ryjacek,A.Saito and R.H.Schelp: "Closure and hamiltonian-connectivity of claw-free graphs" Discrete Mathematics. 195. 67-80 (1999)
• [文献書誌] A.Saito: "Long paths, long cycles and their relative length" J.Graph Theory. 30. 91-99 (1999)