離散幾何解析学の基礎的研究と応用

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10304011
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 砂田 利一 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20022741)
• 研究分担者: 長谷川 浩司 東北大学, 大学院・理学研究科, 講師 (30208483) ; 斉藤 和之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60004397) ; 小谷 元子 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50230024) ; 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学, 教授 (50022679) ; 黒木 玄 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (10234593)
• キーワード: 離散的ラプラシアン / 結晶格子 / アルバネーゼ写像 / 標準的実現 / グラフの調和写像 / 格子振動

研究概要

離散解析幾何学の応用として,結晶格子のスペクトル幾何学の研究を行った。結晶格子上の乱歩に対する局所中心極限定理を幾何学的に確立することにより,有限グラフから平坦トーラスへの調和写像の特別な場合であるアルバネーゼ写像が乱歩に漸近挙動に関連することを見出した。アルバネーゼ写像のリフトである標準的実現を用いて,結晶格子の幾何学的性質を研究し,特に結晶格子の自己同型群の構造を調べた。さらに結晶格子の振動に関する量子論を数学的に再構成し,比熟の漸近的性質のリゴラスな研究を行った。これらの研究過程で発生したいくつかの問題,特にグラフの不変量,グラフからリーマン多様体への調和写像,グラフのゼータ関数の研究について,いくつか成果を得たが,さらに研究を進行中である。

研究成果

• [文献書誌] M.Kotani: "Jacobian tori associated with a finite graphs and graph its abelian covering"Advances in Apply. Math.. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kotani: "Standard realization-of crystal lattices via harmonic maps"Trans. A.M.S.. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kotani: "Albanese maps and off diagonal long time asymptotics for the heat kernal"Comm. Math. Phys. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kotani: "Zeta functions of finite graphs"J. Math. Sci.Tokyo Univ.. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kotani: "The pressure and higher correlations for an***diffeo"Ergod.Th & Pynam.Sys.. (発表予定).