| 研究課題/領域番号 |
10440001
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 立教大学 |
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研究代表者 |
宇澤 達 立教大学, 理学部, 助教授 (40232813)
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| 研究分担者 |
山田 裕二 立教大学, 理学部, 助手 (40287917)
青木 昇 立教大学, 理学部, 助教授 (30183130)
藤井 昭雄 立教大学, 理学部, 教授 (50097226)
黒木 玄 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (10234593)
長谷川 浩司 東北大学, 大学院・理学研究科, 講師 (30208483)
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| 研究期間 (年度) |
1998 – 2000
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| キーワード | 対称対 / 線型代数群 / ラングランズ対応 / 相対跡公式 / アフィン類似 / 標数2の体 |
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| 研究概要 |
本研究では、対称対についての研究を行った。対称対は、リー群および代数群の研究において基本的な対象である。群Gと位数2の自己同型σが対称対を与える。古典型単純リー群も、基礎体の標数が2ではないときには、一般線形群を元に、位数2の自己同型の不変元全体として定義される。したがって、標数が2ではないときには、単純リー群は有限個の例外を除いて、一般線形群の対称対として理解することができる。
1)対称対の基礎理論。標数2の体の上でも、リーマン対称多様体に相当する理論が構成できることがわかった。佐武図式も定義される。標数2の体上では、位数2の自己同型の共役類の数が一般には増えることが知られている。その理由もルート系の言葉で理解することができることがわかった。
2)整数環上のスキームとしての対称多様体の構成。整数環に1/2を付加した環の上での対称多様体のモデルの構成は比較的容易であるが、ここでは整数環上のスキームとしての構成ができることがわかった。
3)対称多様体のコンパクト化の構成。対称多様体のコンパクト化のモデル(群Gが随伴型であるという仮定のもとに)整数環上のスキームとして構成できることがわかった。応用としては、標数2の体上では、5個の2次曲線と接する2次曲線の数が51と、標数が2ではないときの1/64となっていることの説明がある。
4)ルスティックによって定義された指標層に対してラングランズ対応を定義することができることがわかった。群ではなく、より一般の対称対に対してもラングランズ対応を研究することは、ジャッケの相対跡公式ともあわせて大変興味がある問題である。
5)対称対と整数論の関係。対称対に関連して、エプシュタインのゼータ関数が定義され、その特殊値についての結果が得られた。また、群と対極にある対称対に付随して、楕円曲線の族があらわれる。楕円曲線の族に関する結果も得られた。
6)数理物理との関係。対称対としてあらわれるアフィンリー環についての知見が得られた。
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