K3曲面の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10440005
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 金銅 誠之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50186847)
• 研究分担者: 佐野 武 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (90252220) ; 吉川 謙一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (20242810) ; 谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261) ; 浪川 幸彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20022676) ; 向井 茂 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80115641)
• キーワード: K3曲面 / 自己同型群 / Mathieu群 / Niemeier格子 / Kummer曲面 / モジュライ空間 / 保型形式 / 小平次元

研究概要

1. K3曲面に作用する有限群と散在型有限単純群の一つであるMathieu群は関係があることが知られていたが、証明は有限群論の深い結果が用いられており、より直接的な証明が問題であった。
この研究において、階数24の特別な格子であるNiemeier格子の分類理論を用いて、この結果の簡単で新しい証明と視点を与えた。
2. K3曲面の大切な例の一つにKummer曲面があげられる。Kummer曲面は19世紀に集中的に研究され、多くの対称性をもち、その自己同型群は無限群であることも知られていた。しかしながら19世紀後半にF.Kleinが提出した、Kummer曲面の自己同型の生成元を求める問題は残されたままであった。
この研究において階数24の特別な格子Leech格子の幾何学を用いて、Kummer曲面のピカール格子の直行群の基本領域を計算した。このことを用いて、上記の問題、すなわちKummer曲面の自己同型群の生成元を与える問題に最終的な解決を与えた。
3. K3曲面のモジュライ空間はIV型有界対称領域の算術的部分群による商空間と同一視できる。最近R.Borcherdsが構成したIV型有界対称領域上の保型形式を用いてK3曲面のモジュライ空間上の重さが小さい尖点形式の構成を行なった。このことはモジュライ空間の基本的不変量である小平次元の計算に道を開く意義がある。

研究成果

• [文献書誌] S.Kondo: "Niemeier lattices,Mathieu groups,and finite groups of symplectic automorphisms of K3 surfaces" Duke Math.J.92. 593-598 (1998)
• [文献書誌] S.Kondo: "The automorphism group of a generic Jaobian Kummer surface" J.Algebraic Geometry. 7. 589-609 (1998)
• [文献書誌] S.kondo: "On the Kodaira dimension of the moduli space of K3 surfaces" Compositio Math.(発表予定).
• [文献書誌] S.Mukai: "Lattice theoretic construction of symplectic actions of K3 surface" Duke Math.J.92. 599-603 (1998)
• [文献書誌] I.Kikuchi,Y.Tanigawa: "The mean value theorem of the divisor problem for short intervals" Archiv der Math.71. 445-453 (1998)
• [文献書誌] K.-I.Yoshikawa: "Smoothing of isolated hypersurface singularities and Quillen metrics" Asian J.Math.2. 325-344 (1998)
• [文献書誌] 向井茂: "モジュライ理論I(現代数学の展開、青木和彦等編)" 岩波書店, 176 (1998)