リーマン面の量子構造とその低次元位相幾何への応用

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10440007
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 村上 順 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90157751)
• 研究分担者: 宇野 勝博 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70176717) ; 永友 清和 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90172543) ; 川中 宣明 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10028219) ; 山田 修司 京都産業大学, 理学部, 助教授 (30192404) ; 作間 誠 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30178602)
• キーワード: 低次元位相幾何 / 結び目理論 / 3次元多様体 / 共形場理論 / 量子不変量 / 双曲構造

研究概要

リーマン面の量子構造という観点から低次元位相幾何に関する新しい統一的方法をあみ出すことを目的に,主に幾何的側面と代数的側面とに分かれて研究を進めた。そのなかで,結び目の量子不変量から結び目穂空間の双曲体積と呼ばれる計量的不変量が導かれることがあきらかとなった。さらに,双曲構造がはいる3次元多様体の双曲体積も量子不変量から導かれることがわかってきた。これらの事実は,量子不変量が,単に結び目や3次元多様体を分類するための指標となるばかりでなく,様々な幾何的情報までも含む不変量であることを示唆しており,量子不変量を用いて幾何的性質を調べる新たな手法を与えることに成功した。
また,量子不変量のある種の展開をあらわす有限型不変量や,有限型不変量を統一的に捕らえるウェブ図についても研究し,その新しい性質をいくつか明らかにした。
量子不変量は,共型場理論や,q-変型の理論などと密接に関係しているが,これらについても新しい知見を得ることができた。一つは頂点作用素代数の研究で,特に共形場理論のおける相関関数を厳密に決定する問題に深く関わる保型形式との理論との関係を解明した。また,q-変型の理論と関係する有限群のモデュラー表現について,projective indecomposable modulesのいわゆるheart(radicalをsocleで割ったもの)を調べ、heartがindecomposableでない場合を決定した。さらに,複素鏡映群のフロベニウス・シューア指数のq-変型を定義し,対称群およびimprimitiveな複素鏡映群の場合に具体的に計算した。

研究成果

• [文献書誌] H.Murakami and J.Murakami: "The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot"Acta Mathematica. (発表予定).
• [文献書誌] H.Akiyoshi,M.Sakuma,M.Wada,Y.Yamashita: "A way from punctured torus groups to two-bridge knot groups""Geometry and Topology", Proceedings of Workshop in Pure Mathematics. 19. 145-173 (2000)
• [文献書誌] E.Date,S.Roan: "The structure of quotients of Onsager algebra by closed ideals"Journal of Physics Ai Math.Gen.. 33. 3295-3296 (2000)
• [文献書誌] Y.Ohyama: "Web diagrams and realization of Vassiliev invariants by knots"Journal of Knot Theory and its Ramifications. 9・5. 693-701 (2000)
• [文献書誌] Y.Ohyama,K.Taniyama: "Vassiliev invariants of knots in a spatial graph"Pacific Journal of Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] Y.Ohyama,K.Taniyama,S.Yamada: "Realization of Vassiliev invariants by unknotting number one knots"Tokyo Journal of Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] C.Dong,K.Nagatomo: "Classification of irreducible modules for the vertex operator algebra M(1)+,II : higher rank"Journal of Algebra. (発表予定).
• [文献書誌] C.Dong,K.Nagatomo,G.Moson: "Quasi-modular forms and trace functions associuted to free boson and lattice vertex operator algebras"International Mathematics Research Notice. (発表予定).
• [文献書誌] N Kawanaka: "A q-Canchy identity for Schur functions and imprimitive complex reflection groups"Osaka Journal of Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] S.Kawata,G.Michler,K.Uno.: "One Auslander-Reiten components and simple modules for finite groups of Lie type"Osaka Journal of Mathematics. 38・1. 1-6 (2001)
• [文献書誌] S.Kawata,.G.Michler,K.Uno: "On Simple malules in the Auslander-Recten components of finite groups"Mathematische Zeitschrift. 234・2. 375-398 (2000)
• [文献書誌] T.Okayama,K.Uno: "On the vertices of modules in the Auslander-Reiten quiver III."Advances in Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] V.Bessenroctt,K.Ono: "Choracter relations and simple modules in the Auslander-Recten graph of the symmetric groups and their covering groups"Algebras and Repesentation Theory. (発表予定).
• [文献書誌] K.Miki: "Representations of quantum toridalalgebra Uq(sl_<n+1>,tor)(n≧2)"Journal of Muthemutical Physics. 41. 7079-7098 (2000)
• [文献書誌] K.Konno: "Certain algebraic surfaces with non-reduced modali space"Portugal Journal of Mathematics. 57. (2000)
• [文献書誌] Y.Sakata,M.Ochiai,K.Satoh: "Twist decomposition of glueing homeomorphisms of planar Heeguard diagrams of genes two"Proceedings of American Mathematical Society. (発表予定).
• [文献書誌] M.Ochiai: "Computational decomposition of Komeomorphisms of Heeguard."Far East Journal of Mathrmalical Science. 2・6. 869-895 (2000)
• [文献書誌] 落合豊行: "種数2の2次元閉多様体の平面的自己同相写像の分解過程の可視化"パーソナルコンピュータ利用技術協会論文誌. 10・1. 29-37 (2000)
• [文献書誌] 村上順: "結び目と量子群"朝倉書店. 180 (2000)