定平均曲率部分多様体の構成と応用

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10440024
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 山田 光太郎 熊本大学, 理学部, 助教授 (10221657)
• 研究分担者: 大脇 信一 熊本大学, 理学部, 教授 (50040506) ; 井上 尚夫 熊本大学, 理学部, 講師 (40145272) ; 伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 助教授 (20193493) ; 前橋 敏之 熊本大学, 理学部, 教授 (90032804) ; 原岡 喜重 熊本大学, 理学部, 助教授 (30208665)
• キーワード: 低平均曲率曲面 / フラックス / モノドロミー問題

研究概要

3次元ユークリッド空間や双曲型空間の定平均曲率曲面には"フラックス"とよばれるホモロジー不変量が定義され,曲面の端での幾何学的性質をよく表すことが知られている。とくに3次元ユークリッド空間の極小曲面のフラックスは,そのワイエルストラス表示を通して複素解析的に求めることができる。これによりフラックスをあたえて曲面を構成するいわゆる逆問題は複素幾何の問題と促えなおすことができる。一方双曲型空間の定平均曲率曲面のフラックスとして既に知られているものの他に,とくに定平均曲率もの曲面に複素解析的なフラックスを定義することができた。これを用いてある種の曲面の非存在を示すことができる。また,この場合の逆問題は,定曲率計量の構成問題,あるいはある種の方程式のモノドロミー問題と密接なかかわりをもつことを明らかにした。

研究成果

• [文献書誌] Masaaki Umehara and Kotaro Yamada: "Metrics of constant curvature 1 with three conical singularities on 2-sphere"Illinuis Journal of Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] Shin Kato,Masaaki Umehara and Kotaro Yamada: "General existence of minimal surfaces of genus zero of catenoidal ends and prescribed flux"Communications in Analysis and Geometry. (to appear).
• [文献書誌] Wayne Rossman,Masaaki Umehara and Kotaro Yamada: "A new flux for mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space, and applications"Proceedings of the American Mathematical Soc.. 127. 2147-2154 (1999)