| 研究分担者 |
ROSSMAN Wayne 神戸大学, 理学部, 助教授 (50284485)
趙 康治 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (10197634)
山口 孝男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00182444)
井上 尚夫 熊本大学, 理学部, 講師 (40145272)
黒瀬 俊 福岡大学, 理学部, 助教授 (30215107)
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| 研究概要 |
本研究では,ユークリッド空間の極小曲面に関するワイエルストラス型表現公式とその一般化を考察した。まず,3次元ユークリッド空間の極小曲面,という古典的なカテゴリで,フラックスの逆問題に肯定的な解答を与えた。ここであらわれる(複素解析的な量としての)フラックスの一般化として,3次元双曲型空間の定平均曲率1をもつ曲面に対してフラックスとよぶべきホモロジー不変量を定義し,そのバランス公式を用いてある種の曲面の非存在を証明した。
3次元双曲型空間の定平均曲率1の曲面にたいして,全曲率に関する不等式(オッサーマン型不等式)を用い,全曲率が小さい曲面の分類を試みた。とくに,全曲率が4πより小さい曲面については完全な分類が得られた。この分類の副産物として,特殊な場合には従来知られていた不等式よりもつよい不等式が成立することを示すことができた。
また,一般に4次元以上のユークリッド空間の極小曲面に関する良く知られたワイエルストラスの表現公式の一般化として,ある種の非コンパクト型対称空間の正則ガウス写像をもつ曲面という概念を導入し,そのようなクラスの曲面に対して,ユークリッド空間の極小曲面との間の,一般化されたローソン対応が成り立ち,ワイエルストラス型表現公式が存在することを示した。さらに,その公式の応用として,曲面の全曲率に関する大域的な結果を得た。また,高次元のユークリッド空間の完備極小曲面に対して,その全曲率がみたすオッサーマン型の不等式の等号条件を決定した。この不等式の一般化については,現在進行中である。
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