超局所的方法による非線形特異性の解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10440037
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 片岡 清臣 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60107688)
• 研究分担者: 谷島 賢二 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80011758) ; 俣野 博 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40126165) ; 大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721) ; 山本 昌宏 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50182647) ; 舟木 直久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60112174)
• キーワード: 超局所解析 / 第二超局所解析 / ラグランジアン / マイクロ関数 / 偏微分方程式 / メリン変換 / 正則関数

研究概要

線形偏微分方程式系の解のより精密な解析的特異性を調べるにはいわゆる第二超局所解析の概念を用いる。ただしその際には余接バンドル内に中心となる部分多様体を一つ固定して議論する必要がある。その場合、方程式系の特性多様体の何らかの退化集合を中心としてとる事が多いので中心となる多様体は次元が低い方が応用性が広い。代数解析的な意味でのもっとも次元の低い場合はいわゆるラグランジアンに沿う第2超局所解析の場合であるがその場合の実質的な一般論はなく、それより1次元以上大きい正則包合的な場合の一般論から推測するのみであった。一方、船越正太は層のマイクロ台の方法を用いることにより,ラグランジアンに沿って退化する楕円型作用素の第二マイクロ関数での一意可解性を示した。しかし残念ながらその場合無視される第二解析関数ともいわれるマイクロ関数に対しての解析ができず、マイクロ関数のレベルでの結果としては不満足であった。これに関し片岡は船越と協力してこのようなラグランジアンに沿って退化する方程式に対してまず定数係数的な場合に増大度条件付き第二解析的マイクロ関数での可解性定理を得た。そこでは扇型領域上の一変数正則関数に対するメリン型積分表示が決定的な役割を果たすことがわかっていたが任意の増大度をもつ正則関数に対してこのような表示式を得ることは困難であった。片岡はここで積分路を斜めに傾けるアイデアを使い船越と協力して一般の増大度の場合でもメリン型積分表示式を得ることに成功した。この式の直接的応用としてラグランジアンに沿って退化する作用素の正則マイクロ関数に対する Cauchy-Kovalevsky 型定理も得た。さらに船越はこのメリン型積分表示と大きなパラメーターを含む漸近解析からのアイデアを使って最終的に上記のラグランジアンに沿って退化する楕円型作用素に対してマイクロ関数での可解性を得ることに成功した。

研究成果

• [文献書誌] 片岡清臣: "Some micro differential oquations for microfunctions with a holomorphic parameter their formal symbol type solutions"京都大学数理解析研究所講究録「超局所解析と複素領域における微分方程式」に載る予定.
• [文献書誌] 俣野博: "Monotonicity and convergence results in order-preserving systems in the presence of symmetry"Discrete and Continuous Dynamical Systems. 5. 1-34 (1999)
• [文献書誌] 俣野博: "Stability analysis in order-preserving in the presence of symmetry"Proc. Royal Soc. Edinburgh. 129. 397-442 (1999)
• [文献書誌] 谷島賢二: "Boundedness and continuity of the fundamental solution of time dependant Schrodingor equation with singular potentials"Tohoku Math J.. 50. 577-595 (1998)
• [文献書誌] 山本昌宏: "The inverse problem for system of Maxwell equations"Journal of Inverse and Ill-pored Problems. 6. 563-570 (1998)