リーマン面上の有理型函数・Weierstrass点の研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10440051
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 加藤 崇雄 山口大学, 理学部, 教授 (10016157)
• 研究分担者: 本間 正明 神奈川大学, 工学部, 教授 (80145523) ; 柳原 宏 山口大学, 工学部, 助教授 (30200538) ; 増本 誠 山口大学, 理学部, 助教授 (50173761) ; 大渕 朗 徳島大学, 総合科学部, 助教授 (10211111) ; 柴 雅和 広島大学, 工学部, 教授 (70025469)
• キーワード: 閉リーマン面 / 代数曲線 / 有理型函数 / gonality / Brill-Noether 理論 / 正規生成性 / Weierstrass 点

研究概要

Cを種数g【greater than or equal】2の閉リーマン面、Lを次数d、次元rのC上の非常に豊富(very ample)な直線束とする。前世紀に M.Noether によって C が hyperelliptic でない場合には標準束K_Cは正規生成であることが述べられている。1970年になって、 Mumford は d>2g ならば L はつねに正規生成であることを示した。その後 Lange-Martens(1985) は C が hyperelliptic の場合、d【less than or equal】2g ならば L は決して正規生成にならないことを証明し、さらに C が hyperelliptic でない場合には2g-2【less than or equal】d【less than or equal】2gならば一般の L は正規生成になることを示した。また Green-Lazarsfeld(1986) は Clifford 指数を用いた正規生成性の有用な判定条件を与えた。
本研究では、Green-Lazarsfeld の判定条件を有効に使うことにより、L の次数 d がさらに小さい場合についての正規生成性を考察した。その結果、d=2g-2、2g-3の場合には正規生成にならない L を完全に記述することに成功した。また L が特殊直線束の場合には、d=2g-5 ではつねに、d=2g-6では1つの例外を除いて、正規生成であることを示した。さらに Green-Lazarsfeld の判定条件は Clifford 指数に寄与しない L について述べられたものであるが、我々は寄与する L についての正規生成についても考察し、ある条件下では正規生成であることを示した。

研究成果

• [文献書誌] Kato, T. and Keem, C.: "G. Martens' dimension theorem for curves of odd gonality"Geom. Dedicata. 78. 301-313 (1999)
• [文献書誌] Kato, T., Keem, C. and Ohbuchi, A.: "Variety of special linear systems on k-sheeted coverings"Geom. Dedicata. 69. 53-65 (1998)
• [文献書誌] Kato, T., Keem, C. and Ohbuchi, A: "Normal generation of line bundles of high degrees on smooth algebraic curves"Abh. Math. Sem. Hamburg. 69. 319-333 (1999)
• [文献書誌] Masumoto, M.: "Extremal length of homology classes on Riemann surfaces"J. Reine angew. Math.. 508. 17-45 (1999)
• [文献書誌] Homma, M: "Singular hyperelliptic curves"Manuscripta Math.. 98. 21-36 (1999)
• [文献書誌] Schmieder, G. and Shiba, M.: "One-parameter variations of the ideal boundary and compact continuations of a Riemann Surfaces"Analysis. 18. 125-130 (1998)