| 研究概要 |
1. VとWを代数多様体としf:V→Wを支配的有理写像とするとき,非有理次数drに関して基本的な不等式dr(V)≧dr(W)が,dim W=1のとき成立する。しかし,dr(W)≧2のとき成立するかどうか長らく不明であった。当研究によって,dim V=dim W=2のとき,不成立な例をVとWが超楕円曲面のとき作った。また成立するための十分条件も見つけた。
2. 超楕円曲面Sの非有理次数dr(S)に関して,アーベル曲面のときと同様に,dr(S)=3かつ有理関数体k(S)が,ある極大有理関数体上に3次のガロワ拡大である必要十分条件を求めた。このようなSはアーベル曲面を3重の不分岐被覆にもつものの内の特別なものである。そのようなすべてのSも決定した。
3. 一連の研究は代数多様体Vの有理関数体k(V)の構造を調べているのであるが,一番基本的と思われるdim V=l,すなわちVが平面代数曲線Cのとき,K=K(C)を詳しく研究した。平面上の点Pからの射影によって体の拡大K/Koが得られ,これは点Pにのみ依存する。そこでPの存在する場所によってこの拡大の分類を行った。例えば,Ko上Kのガロワ閉包LのKo上のガロワ群をGとするとき,Pが一般の位置にあれば,対称群になることや,degC=3,4のときのすべてのCとPについて詳細にGやLの非特異モデルの種数を決定した。特に,cがフェルマー曲線のとき中間体にLangのテキストに与えられている例が別の方法によって得られることも判明した。
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