| 研究概要 |
1.超楕円曲面の非有理次数は2,3または4であることが判明し、更に2になるための必要十分条件として標準束に関してその2倍が自明という主張が成立することが得られた。なお3の場合は沢山実例が存在するが、4の場合は見つからず存在しない、と予想されるがこの問題の解決は今後の課題の一つである。
2.非有理次数との関連で、平面曲線や超曲面の関数体の体論を研究した。まず4次曲線のときはすでに成果が得られているので5次のフェルマー曲線のとき調べた。その上にガロワ点は存在せず、変曲点においてガロワ閉包のガロワ群は位数8の二面体群であり、種数は16であることが判明した。それ以外の点では4次対称群で種数は85である。
3.曲線のときと同様のプログラムに従って4次曲面Sに関して研究した。曲面上の点がガロワ点になる必要十分条件を求め楕円曲面の理論を応用して、S上には0,1,2,4または8個のガロワ点が存在する事実をつきとめた。8個存在するのはたった一つの曲面S_8であり、この曲面の上には64本の直線が存在することも見いだした。
4.4次曲線と4次曲面のクラスにおいて最大のガロワ点をもつものはそれぞれC_4とS_8である。それぞれの場合にガロワ点に付属する自己同型で生成された群は位数24と288である。2つの多様体の間には密接な関係があることが判明した、すなわちS_8から有理曲線への射があり、それの一般ファイバーとしてC_4が現れるということである。
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