| 研究概要 |
Lを整数係数の2元3次形式全体のなす格子とし,Lをその双対格子とする.3次体の分布は,2元3次形式のなす概均質ベクトル空間と密接に関係し,そのゼータ関数ξ_i(L,s)はKが3次体全体をわたるときの|D_K|^<-S>η_K(2s)の和として表せる.ここで,η_K(s)=ζ(2s)ζ(3s-1)ζ_K(s)/ζ_K(2s)である.この表示と,Lに属する2元3次形式のへッシアンとして得られる2元2次形式に対応する2次体の整環のイデアルのことばによって特徴付けることによって得られるゼータ関数のもう一つの表示を求めて,それらが一致することを類体論を用いて証明した.これによって,ξ_1(L,s)=3^<-3s>ξ_2(L,s),ξ_2(L,s)=3^<1-3s>ξ_1(L,s)が成り立つという大野の予想を肯定的に解決した.この結果の応用として,正の判別式を持つ3次体の個数と負の判別式を持つ3次体の個数の間の関係式と,2次体の整環のイデアル類群の3-torsin部分群の階数に関するSholzの定理の精密化が得られる.これらの結果はInvent.math.に発表するとともに,ベルリンで開催された国際数学者会議ICM98のShort Communicationにおいて講演した.
現在は,4次体の判別式の分布ならびに3次体のイデアル類群の2-torsion部分群の階数の分布と密接に関係すると思われている概均質ベクトル空間である3元2次形式のペアのなす概均質ベクトル空間について,3次体の2次拡大との関連を中心に研究中である.また,2元2次形式のペアのなす概均質ベクトル空間について,2次体の2次拡大との関連についても研究中である.
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