| 研究概要 |
本研究において最も重要であると思われる,剰余表現が可約の場合のp-進ヘッケ環の構造を研究している.剰余表現が奇指標χに対応するとして,その体F上の拡大の全体が一次元の場合の極小ヘッケ環は普遍変形環であることが予想されるが,この予想を現在までの研究で解決した.剰余表現が既約の場合に志村曲線を使って構成したTaylor-Wiles系を拡張して系を作ることが本質的である.しかしながら,一般には拡大の全体は一次元とは限らず,従って普遍変形環とヘッケ環の間に関係をつけることすら容易ではない.この問題については今後も引き続き研究を行っていく予定である.また,この条件を満たす指標が存在しなくては定理としては弱い.そこで,一般の総実代数体の場合に,条件を満たす二次指標が無数にあることも示した.実際には相対類数がpで割れない総虚二次拡大を無限個構成することになる.これはデデキントゼータ関数の値がpで割れないときには既に示されていたが,ここではその仮定が不要である事が重要である.証明には四元数環に伴う乗法群上でセルバーグ跡公式の単純形を用いる.この証明の手法は多くの場合に拡張可能であると思われるので、今後の研究課題に加えていきたい.また,この構成法の応用として,全ての失点でのフーリエ展開の定数項が1になる肥田の意味でのΛ-進形式が存在することが解る.この事実はEisenstein級数と尖点形式との間の合同式を作るために重要であり,副産物としてA.Wilesによる総実代数体の岩沢主予想の証明を簡易化する事もできる(元の論文ではジーゲルEisenstein級数を使い,Ferrero-Washingtonの定理を使うなど複雑であった).上記の結果については現在論文を準備中である.
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