| 研究概要 |
1.ホップ代数が作用するガロア拡大の概念は余加群多元環が作用するガロア拡大の概念まで拡張でき、その具体例のひとつとしてP-ガロア拡大がある。ここでは体上の3次P-ガロア拡大を決定するとともに、その同型類を求めた。P-ガロア拡大の同型類全体は群構造をもつか否か不明であり、また従来のP-ガロア拡大の同型類と比較して類が小さすぎるので類の概念を修正する必要があることを指摘した。
2.余加群多元環を用いてワイル代数に類似の具体的な接合積を構成するために微分に類似な作用を研究した。Aを環、Mを両側A-加群、f:A→Mを加法的写像、ω∈Mとする。任意のx,y∈Aに対して、f(xy)=f(x)y+xf(y)+xωyを満たす時(f,ω)をgeneralized derivationと呼ぶ。Aが単位元をもつとき、generalized derivationはBresarの意味のgeneralized derivationである。ここでは、generalized derivation,Bresar's generalized derivation,derivationの基本関係を与え、このgeneralized derivation全体の作る加群と微分全体の作る加群の関係を短完全系列で記述した。このことより、generalized derivationと微分の関係はカテゴリー論的に把握され、これを利用してgeneralized derivationの微分加群の存在を示した。
この概念は左微分(left derivation)や中心的微分(central derivation)にも応用できる。またこれはホップ代数的に把握することが可能で、それによって余加群多元環とそれが作用する多項式環による接合積が構成され、ホップガロア理論へ応用できる。またこれらの概念はジョルダン微分やリー微分にも拡張され、従来考察されていたジョルダン微分と微分に関係する結果をgeneralized Jordan derivationとgeneralized derivationに拡張する一般的公式を与えた。さらにこれらの新しい微分は高次微分としても扱われ、それらの基本的な関係が与えられた。
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