| 研究課題/領域番号 |
10640029
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 山口大学 |
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研究代表者 |
木内 功 山口大学, 理学部, 助教授 (30271076)
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| 研究分担者 |
谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261)
柳原 宏 山口大学, 工学部, 助教授 (30200538)
増本 誠 山口大学, 理学部, 助教授 (50173761)
菊政 勲 山口大学, 理学部, 助教授 (70234200)
松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60192754)
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| 研究期間 (年度) |
1998 – 1999
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| キーワード | リーマン・ゼータ関数 / 約数関数 / リーマン・ジィーゲル公式 / オメガ結果 / 乗法的関数 / 平均的定理 |
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| 研究概要 |
本研究では、リーマン・ゼータ関数に関する平均値定理と一般化された約数関数を含むある指数和に関する平均値定理を導いた。ゼータ関数論において、それらに関する深い考察はユティラー、本橋、松本、ミウルマンによって紹介されたユティラーの方法、本橋の近似関数等式、松本・ミウルマンのアトキンソン公式、そしてリーマン・ジーゲル公式がある。我々は、これらを応用して研究を行った。特に、総和関数の剰余項に関する平均値公式を導いた。それらは以下の5つである:(1)短区間における約数問題、(2)短区間における松本・ミウルマンの公式、(3)本橋の近似関数等式の非対称型の平均値、(4)本橋の近似関数等式の非対称型の短区間における平均値、(5)リーマン・ジーゲル公式に関する平均値。これらの各々について以下に詳しく述べる。
(1)、(2)短区間における約数関数の総和に関する剰余項の平均値公式は、ユティラーによって最初に考えられ、彼は、短区間の積分を含む形の漸近公式を導いた。本研究では、一般化された約数関数を含む指数和に関する剰余項に関する平均値定理を短区間で行った。これはユティラーの結果の類似性を示している。同様に、ユティラーの方法を応用して、ゼータ関数の平方に関する二乗平均値公式の剰余項についての短区間における平均値定理をクリティカル・ストリップで考察した。
(3)、(4)ゼータ関数の平方の近似関数等式における剰余項に関する精密な評価はハーディー・リトルウットによって、1929年に導かれた。本橋は、1983年にこの剰余項に関してリーマン・ジーゲル公式の類似的な漸近式を導くことでそれを改良した。本研究では、この剰余項に関する短区間における二乗平均値公式を導いた。
(5)リーマン・ジーゲル公式の応用として、この剰余項に関する偶数ベキの平均値公式を導いた。
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