多元環の表現論

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640037
• 研究機関: 大阪市立大学
• 研究代表者: 住岡 武 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (90047366)
• 研究分担者: 河田 成人 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (50195103) ; 浅芝 秀人 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (70175165) ; 津島 行男 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047240) ; 奥山 哲郎 北海道教育大学旭川校・教育学部 (60128733) ; 加戸 次郎 大阪市立大学, 理学部, 講師 (10117939)
• キーワード: 森田同値性 / 零化条件 / 入射加群 / ゴルディー次元 / 表現論 / 有限群 / アウスランダー・レイテン理論 / 概分裂列

研究概要

理論及び表現論において,森田双対性は多方面に用いられ,非常に重要な研究対象である.1969年、Fullerは森田双対性の精密化として右アルチン環上、直既約入射イデアルの特徴付けを二つの射影イデアルの間の関係で幾つか与え,1992年に馬場及び大城はこの結果を半準素環に拡張した.本研究ではFuller及び馬場,大城による射影イデアルに関する幾つかの結果を森田,太刀川によって導入された加群の「対」の性質と融合させることにより一般の加群に対する理論に発展させた.これにより零化条件をもつ「対」の加群が有限Goldie次元をもつ条件や,有限余生成入射加群の特徴付けを与えた.これらは射影イデアルから一般の加群への拡張にとどまらず,性質の本質を明らかにし,更なる展開をも期待されると考えられる.
一方,多元環の表現論において強力な研究手段の一つであるAuslander-Reitenの理論を群環の表現論に応用するために、Auslander-Reiten有向グラフ(以下ARグラフ)とよばれるグラフについて考察した。ARグラフとは直既約加群の同型類を点に,既約写像を矢とみなして得られるグラフのことであるが、1995年にErdmannは有限群のモジュラー表現の場合に,このグラフの形状を決定した.即ち,正標数の代数閉体上の群多元環のブロックがwild表現型ならば,そのARグラフの既約成分のtree classはA_∞であることを示した.この重要な結果を踏まえて、有限群の整数表現におけるARグラフの形状について研究を進め、群の位数がある素数の巾乗の場合に,ARグラフの既約成分で自明な格子加群を合むもののtree classはA_∞であることを示した.またARグラフは,概分裂列とよばれる完全列と密接な関係がある.この概分裂列について,整数表現における概分裂列とモジュラー表現における概分裂列との間にある関連性を見い出した.

研究成果

• [文献書誌] 森本真理,住岡武: "On dual pairs and simple - injective modules"Journal of Algebra. (発表予定).
• [文献書誌] 森本真理,住岡武: "Semicolocal pairs and finitely cogenerated injective modules"Osaka Journal of Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] 住岡武,渡嘉敷尚: "Some remarks on (M,N)-injective modules"Proceedings of the 32th Symposium on Ring Theory and Representation Theory. (発表予定).
• [文献書誌] 井上孝之,河田成人: "On Auslander-Reiten Components and trivial modules for integral group rings of p-groups"Journal of Algebra. 203. 374-384 (1998)
• [文献書誌] 河田成人: "On standard Auslander-Reiten sequences for finite groups"Archiv der Mathematik. (発表予定).
• [文献書誌] 河田成人: "On Auslander-Reiten sequences for irreducible lattices over integral group rings"Proceedings of the 32th Symposium on Ring Theory and Representation Theory. (発表予定).