| 研究概要 |
当該研究の目標は、j-不変量j(τ),j(nτ)の関係式、いわゆるモジュラー方程式の高次元版の研究である。j-不変量の高次元版は、2次元については得られているが、複雑で取り扱うのに困難であり、3次元以上については知られていない。そこで当研究では、j-不変量の替わりに、レベル2のテータ常数θ[m](τ)_2(mは半整数ベクトル、τはジーゲル上半空間S_gの点)の比を採用する。古典的にはこれがモジュライと呼ばれていた。
写像 Θ:S_g→IP^N(N=2^g-1),Θ(τ)=(・・・:θ[^a_0](2τ):・・・)(a∈1/2Z/Z)を考える。この右辺の比は上のモジュライと本質的に同等である。pを奇素数とし、集合{(Θ(τ),Θ(pτ))|τ∈S_g}⊂IP^N×IP^Nのザリスキー閉包をレベル(2,4)モジュラー多様体と呼び、その定義方程式が次数pのモジュラー方程式の高次元版である。
我々の定式化で1次元の場合、レベル(2,4)モジュラー曲線⊂IP^1×IP^1の定義方程式Φ_p(X,Y)は、古典手的な手法を用いて得られ、それのpを法とする簡約は、(X^p-X)(Y-Y^p)となる。高次元の場合のモジュラー方程式は,p=3の時は知られていたが、p=7の場合が新たに得られた。さらに、高次元モジュラー多様体に関する予備的結果も得られているが、さらに発展させ、次年度の成果としたい。
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