実代数的特異点の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640075
• 研究機関: 兵庫教育大学
• 研究代表者: 小池 敏司 兵庫教育大学, 学校教育学部, 助教授 (60161832)
• 研究分担者: 福井 敏純 埼玉大学, 理学部, 助教授 (90218892) ; 塩田 昌弘 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00027385)
• キーワード: モディファイド・ナッシュ自明性 / ブロー解析性 / ナッシュ近似定理 / イソトピー補題 / トーリック特異点解消 / 福井不変量

研究概要

複素代数的特異点の研究が多くなされているのに比べ、実数は代数的閉体でなく代数的に取り扱いにくいため、実代数的特異点の研究はあまりなされていない。本研究の目的は、その実代数的特異点の研究を孤立特異点の場合だけでなく、非孤立特異点の場合を含めた一般の実代数的特異点族の研究を行うことであった。ここでいう実代数的特異点とは、ナッシュ写像の零点集合の特異点のことである。今年度、この実代数的特異点の研究に関し、次の二つの成果を得た。
(I) 非孤立特異点を持つナッシュ零点集合族のモディファイド・ナッシュ自明性(又は、ブロー・ナッシュ自明性)を示そうとする時、特異点解消写像の自明性を示さなければならないという難問にぶつかる。それを克服するための第一歩として、ナッシュ写像のファイバーの構造を調べることが問題になる。今回、ナッシュ写像のファイバーが滑らかでない、即ち、特異である点集合は、余次元2のい半代数的集合であることを、研究分担者の一人である、名古屋大学の塩田昌弘氏との共同研究において示した。
(II) ナッシュ関数のブロー・ナッシュ同値(又は、実解析的関数のブロー解析的同値)に対する不変量として、福井不変量がよく知られている。今回、近畿大学の泉脩蔵氏とシドニー大学のT.C.Kuo氏との共同研究において、この福井不変量に対する一般的な公式を与え、そこに現れる例外集合の重複度を用いて、福井不変量の安定性に対する特徴付けを与えた。

研究成果

• [文献書誌] K.Bekka,S.Koike: "The Kuo condition,an inequality of Thom's type and(C)-regulaicty" Topology. 37. 45-62 (1998)
• [文献書誌] T.Fukui,S.Koike,T.C.Kuo: "Blow-analytic eguisingulaities,properties,problems and progress" Pifman Research Notes in Mathematics. 381. 8-29 (1998)
• [文献書誌] T.Fukui,S.Koike,M.Shiota: "Modified Nash triviality of a family of zero-sets of real polynomial mappings" Annales de l'Institut Fourier. 48(掲載予定). (1998)
• [文献書誌] S.Koike: "Blow-analytic SV-sufticiency does not always inply Blow-analytic sufticiency" Hokkaido Mathematical Journal. (掲載予定).
• [文献書誌] T.Fukui: "Nerotm polygons and topology of real zero loci of real polynomials" Journal of the London Mathematical Society. (掲載予定).
• [文献書誌] T.Fukui,J.N.Ballesteros,M.Saia: "On the number of singulaities in generic defnmatims of map-germs" Journal of the London Mathematical Society. (掲載予定).