低次元多様体の組み合わせ的構造

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640076
• 研究機関: 奈良女子大学
• 研究代表者: 小林 毅 奈良女子大学, 理学部, 教授 (00186751)
• 研究分担者: 片桐 民陽 奈良女子大学, 理学部, 助教授 (60263422) ; 和田 昌昭 奈良女子大学, 理学部, 教授 (80192821) ; 落合 豊行 奈良女子大学, 大学院・人間文化研究科, 教授 (70016179) ; 新出 尚之 奈良女子大学, 理学部, 講師 (40208111)
• キーワード: 3-manifold / Knot / Heegaard splitting / triangulation / Riemannian metric / Dehn twist

研究概要

最近の低次元多様体論は幾何学の枠を大きく超えて群論,関数論,力学系,そして数学以外の数理物理,計算機科学等の様々な分野との密接なつながりが見出されてきている.その中には,例えば,双曲的曲面のTeichmuller空間の座標を与えるTrain Track(Thurston),双曲的三次元多様体の理想的胞体による標準的分割(Epstein-Penner),ヤング図形によるへッケ環の表現の構成(Jones),automaticな群の理論(Thurston),Hakenによる正規曲面の理論といった多くの(一般には非常に巨大な)組合せ的構造が見出されている.これに関して,最近の低次元多様体論の発展,コンピュータの発達等によりこれらの組合せて的構造を直接,具体的に取扱うことがかなり可能になってきているように思われる.
以上のような状況に鑑み本研究では特に2,3次元の多様体の構造を特に幾何的,組合せ的な観点から調べてゆくことを目指した.具体的には,次のような話題についての研究がなされた.
・三次元多様体,結び目の構造をHeegaard分解を通して(特にRubinstein-Scharlemannによる'graphic'と呼ばれる概念を用いて)研究する,その結果として結び目の結ばれていないトンネルの分類などに関して有効な情報を得る.
・三次元多様体の双曲構造を三次元多様体の三角形分割を用いて研究する.特に非常に単純な双曲構造から出発してそれを変形することにより2橋結び目の外部空間に双曲構造を入れる.
・三次元リーマン多様体のある種のリーマン計量のなすModuli空間の性質とその三次元多様体の幾何構造の間の関係について調べる.
・三次元多様体の与えられたHeegaard分解の接着写像を,標準的なDehn twistの積に分解するための(計算機で取り扱うことの出来る)アルゴリズムの研究.

研究成果

• [文献書誌] Tsuyoshi Kobayashi: "Rubinstem-Scharlemann graphicfor3-manifold as the discriminant set of a stable map"Pacific J.Math. (掲載予定).
• [文献書誌] Tsuyoshi Kobayashi: "Classification of unknotting tunnels for two bridge knots"Geometry and Topology Monographs. (掲載予定).
• [文献書誌] Mitsuyuki Ochiai: "Twist decompositions of glueing homeomurphisms of planar Heegaard diagrams of genus two"Proc.Amer.Math.Soc.. (掲載予定).
• [文献書誌] Minnyou Katagiri: "On deformations of Einstein-Weyl structures"Tokyo J.Math.. 21. 457-461 (1998)
• [文献書誌] Minnyou Katagiri: "On the topology of the moduli space of negative constant curvature metrics on a Haken manifold"Proc.of the Japan Acad.. 75. 126-128 (1999)
• [文献書誌] Masaaki Wada: "A generalization of the Schwarzian via Clifford numbers"Ann.Acad.Sci.Fenn.. 23. 453-460 (1998)