| 研究概要 |
シンプレクティック群Sp(n)とCI型対称空間Sp(n)/U(n)についてはS.Kobayashi氏による標準的埋め込みが局所的にみても最小次元の等長埋め込みを与えていることを兼田英二氏との共同研究で既に示している。p(G/K)というリーマン対称空間に標準的に付随した値を求めることにより、上記の事実を示したのであるが、すべての対称空間についてp(G/K)の値が確定しているわけではない。他の対称空間の局所等長埋め込み可能な次元の評価を与えるためにも、この値をすべての対称空間に対し求めておくことが大切な問題であるが、現在のところ部分的な結果しか知られていない。今年度はルート系の理論を用いることによりこのp(G/K)という量の下からの一連の評価を与える方法を見つけた。その方法によりp(G/K)の具体的な評価式を得るには、まず各ルート系の極大強直交系をWeyl群の作用のもとで分類しておく必要があり、その分類結果を現在論文にまとめつつある段階である。
定義及び結果を簡単にまとめると以下のようになる。ルート系△の部分集合Γが強直交であるとはΓの任意の2元α,βに対しα±βがルートにも0にもならないこととする。このとき、既約ルート系△がA型,B型(階数=奇数).D型,E型.G型であれば極大強直交系はWeyl群の作用のもとで一意的に定まる。B型(階数=偶数),C型,F型.BC型の場合はそれぞれ2,[階数/2]+1,2,階数+1種類の極大強直交系が存在する。またこれらの代表元となる強直交系の具体的な表示も与えた。
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