結び目のエネルギーの研究(エネルギー最小元の存在と数値実験)

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640085
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 倉田 俊彦 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (40311899)
• 研究分担者: 岡 睦雄 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40011697) ; 大仁田 義裕 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (90183764) ; 今井 淳 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70221132) ; 出口 哲生 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (70227544) ; 中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849)
• キーワード: トポロジー / 結び目理論 / エネルギー

研究概要

結び目のエネルギーとは結び目全体のなす空間の上で定義された汎関数で、結び目が自己交叉しようとすると発散するようなものである。この結び目のエネルギーの概念について、フランスのブルゴーニュ大のランジュヴァン氏と議論を重ね、これまでの考察によって得られた結び目のエネルギーEとランジュヴァン氏が共形不変な積分幾何を研究する過程で定義した汎関数との関連を調べた。その結果として、新たに無限小非調和比と呼ぶ概念に着目し、その絶対値と実部の差をトーラス上積分したものが結び目のエネルギーEと一致することが分かった。また一方で、ランジュヴァン氏が積分幾何学を用いて定義した量を無限小非調和比を用いて表す公式も得ることができた。更に、これとは別に、「球や円の幾何学」的な視点から、無限小非調和比や積分幾何学からは出てこないような、結び目の共形不変な量を新たに定義した。
また一方で、結び目の代数的な不変量における議論と計算機科学における再帰プログラムの表示的意味論との間に存在する強いアナロジーに注目し、再帰プログラムの持つ巡回構造に代数的な不変量を割り当てる一般的な仕組みについても考察を行った。その結果、ラムダ計算と呼ばれる構文体系について、その構造を弱外延性を持たない形で埋め込むことのできる代数構造を、これまで知られているものと比べ非常に分かり易い形で与えることができた。今後は、圏論等の抽象的な視点から、このようなプログラムの構造に関する不変量の議論と結び目のエネルギーに関する議論との関連が明らかになることを期待している。

研究成果

• [文献書誌] M.Mukai-Hidano, Y.Ohnita: "Geometry of the moduli spaces of harmonic maps into Lie groups via gauge theory over Riemann surfaces"International J. Math.. 12. 339-371 (2001)
• [文献書誌] M.Mukai, Y.Ohnita: "Gauge-theoretic approach to harmonic maps and subspaces in moduli spaces"To appear in "Integrasle systems, Geometry and Topology".
• [文献書誌] Y.Nishimori, Y.Ohnita: "Quantum cohomology rings of Hermitian symmetric spacer of type DIII"To appear in the proceedings of 2001 "WSES International conference on applied and theoretical mash.".
• [文献書誌] A.Amarzaya, Y.Ohnita: "On Hamiltonian stability of certain H-minimal Lagrangian Submanifolds in Hermitian symmetric spaces"数理解析研究所講究録. 1236. 31-48 (2001)
• [文献書誌] Y.Ohnita: "Harmonic maps into symmetric spaces and integrasle system theory"上智大学微分幾何学研究会"Lie Groups and Manifold theory"報告集. (掲載予定).
• [文献書誌] M.Oka: "Elliptic curues from sextics"J. Math. Soc. Japan. (to appear).
• [文献書誌] M.Oka: "Another involution on moduli of sextics"Kodai J. Math.. 24. 26-30 (2001)
• [文献書誌] M.Oka, D.T.Pho: "Fundamental group of sextics of torus type"Trends in Siugularities. (to appear).
• [文献書誌] T.Kurata: "Intersection and singleson type assignment aharacteriting finite Rohm-trees"Information and Computation. (to appear).
• [文献書誌] H.Ishihara, T.kurata: "Completeness of intersection and union type assignment systems for call-by-value λ-models"Theoretical Computer Science. 272. 197-221 (2002)
• [文献書誌] M.K.Shimamura, T.Deguchi: "Topological entropy of a stiff ring polymer and its connection to DNA knots"J. Phys. Soc. Jpn.. 70. 1523-1536 (2001)
• [文献書誌] T.Deguchi, P.K.Ghosh: "Spin chains from super-models"J. Phys. Soc. Jpn.. 70. 3225-3237 (2001)
• [文献書誌] M.K.Shimamura, T.Deguchi: "Gyration radius of a circular polymer under a topological constraint with excluded volume"Phys. Rev.. 64. (2001)
• [文献書誌] T.Deguchi: "Non-regular eigenstate of the XXX model as some limit of the Bethe state"J. Phys. A : Math. Gen.. 34. 9755-9775 (2001)
• [文献書誌] T.Deguchi: "Construction of some missing eigenvectors of the XYZ spin chain at the discrete coupling constants and the exponentially large spectral degeneracy of the transfer matrix"J. Phys. A : Math. Gen.. 35. 879-895 (2002)
• [文献書誌] H.M.Bahig, H.El-Zahar, K.Nakamula: "S-me results for some conjectures in addition chains"In Proceedings of the thirel International Conference on Conbinatrics Computasiliy and Logic. 47-54 (2001)
• [文献書誌] H.M.Bahig, K.Nakaumla: "Some properties of nonstar steps in addition chains and new cases where the scholz conjecture is true"J. Algorithms. (to appear).
• [文献書誌] T.Deguchi, K.Fabricius, B.M.McCoy: "The sl_2 loop algebra symmetry of the six-vertex model at roots of unity"J. Stat. Phys.. 102. 701-701 (2001)
• [文献書誌] A.Yao, H.Matsuda, H.Tsukahara, M.K.Shimamura, T.Deguchi: "On the dominance of trivial knots among SAPs on a cubic lattice"J. Phys. A : Math. Gen.. 34. 7563-7577 (2001)