| 研究概要 |
本研究では,まずリーマン空間の領域上の境界条件をもつ拡散過程を扱い主として解析的な方法で考察した.斜反射境界条件をもつ拡散過程の推移確率密度を,対応する拡散方程式の境界値問題の基本解として構成した.その手法は従来パラメトリックス・メソッドと呼ばれていた方法を境界条件がある場合にも適用できるようにしたものである.その結果,非斉次問題の解の完全な積分表現およびそれらの領域摂動のもとでの安定性を示すことができた.基本解の構成やその領域摂動の下での安定性を示すとき,多様体の対についてのスムージングについての結果も用意した.これらは学術論文として発表した.
更にこの方法を拡張し,2階のヴェンチェル境界条件をもつ場合にも考察を広げ,基本解の構成においてこの方法が有効であることを示した.これは他の関数解析的な方法では今まで扱えていないものである.このときは内部の作用素と境界作用素がともに同じ階数なので,パラメトリックスや基本解に対し従来のものと全く異なる評価を得る必要がある.これらの結果については専門の研究会や学会で口頭で発表した.
また,拡散過程の重ね合わせとして得られるマルコフ過程を考察してそのフェラー性を示し学術論文として発表した(Y.Ogura,M.Tomisakiとの共同研究).それを示すとき,ディリクレ形式を通したグリーン核に対する考察を用いて境界層の上の微積分方程式の強解の存在を示すことに帰着させ,それを構成的な方法で与えられた基本解の評価を利用して証明した.この拡散過程の重ね合わせは浸透膜の問題の数学的なモデルとも考えられているものである.
拡散過程は確率微分方程式の観点からも扱えるが,ここではそれに関連して確率場における非因果的確率積分方程式を考察し,確率解析の立場からその解の数値解法を与えた.更に実解析的な手法に関しては,フーリエ変換における結果を発展させ,ハンケル変換に対するハーディ型の不等式の証明や離散ハーディ空間の特徴付けを与えた.これらの結果は学術論文としてまた専門の研究会で口頭発表した.
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