| 研究概要 |
対称関数h(x_1-,…,x_m)と確率変数列(〕.SU.〔)に対して(〕.SU.〔)をdegreemのU-統計量と呼び、h(x_1,…,x_m)をいろいろ与えることによって、フォン・ミーゼスの統計量を始め各種の重要な統計量を作ることが出来る.研究代表者は既に定常な確率変数列のU-統計量から構成された確率過程とブラウン運動から構成された確率過程との誤差の大きさを評価して概収束型不変原理(almost sure invariance principle)を示している.この結果からU-統計量に対して、未知パラメータの推定や検定問題の基礎となるドンスカー型不変原理や重複対数の法則などの極限定理が成立する.この時、U-統計量に対して以下のように定義されたヒルベルト空間Hに値を取る確率変数列の和に関する極限定理を応用した.即ち、degree2のU-統計量の核関数u(x,y)^-を固有値{λ_k}とその固有関数{g_k(x)}を用いてu(x,y)=Σ^^∞__<k=1>λkgk(x)gk(y)と表す.この時ヒルベルト空間Hを
(〕.SU.〔)
とする.この方法を改良してU-統計量におけるDonsker-Varadahan型大域偏差理論に適用した.この方法によって大域偏差理論におけるエントロピー関数を具体的に表現することができた.さらに、この表現を用いて対称統計量の核関数の直交関数展開式から計算機実験によって対称統計量に関する極限定理における実際の収束の速さを計算することができる.対称統計量はノンパラメトリック統計において基本的は統計量であるため、この方面への応用が期待できる.
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