| 研究概要 |
研究実績は以下のとおり.
研究代表者の石井は平均曲率流に対する近似問題について研究した。全空間の場合にはBence,Merryamn,Osherによって開発されたBMOアルゴリズムと呼ばれる近似スキームがあり、その収束の証明や一般化が既に得られている。その方法は等高面の方法から導かれる特異性をもつ非線形放物型偏微分方程式と粘性解理論を用いる。石井は一般化されたスキームを有界領域においてその境界と直交するという条件のもとでの平均曲率流に応用した。この結果は石井仁司氏(東京都立大学大学院理学研究科)との共同研究であり、SIAM Jouranl of Mathematical Analysisに掲載受理された。
また、最近F.Leoni氏によるBMOアルゴリズムの収束に対する別証明が与えられた。彼女の証明はAllen-Cahn方程式の漸近解析の方法を応用している。この結果を基にしてBMOアルゴリズムとAllen-Cahn方程式との関係や他の問題への応用を探るべく、小川卓克氏(九州大学大学院数理学研究院)と共同研究を開始した。また、このアルゴリズムの収束の早さに関しては何も結果がない。私は特に、最良評価を求めるために研究を開始した。また、これらの研究は有界領域にあける境界値問題も念頭においている。
研究分担者の丸尾は有限個の球面上で退化する半線形楕円型偏微分方程式に対する球対称解について研究した。方法は、偏微分方程式を(形式的には)同値な積分方程式に直すのであるが、元の方程式が退化している球面上では被積分関数が発散するという特異性が生じる。そこで彼は冨田義人氏(故人)との共同研究において、粘性解の概念を用いて球対称解の存在・一意性・非一意性をその特異性との関係で調べた。この結果はOsaka Journal of Mathematicsに掲載受理された。
丸尾はこの結果を発展させるために、方程式の主要部が無限個の球面上で退化する場合や退化している集合が厚みを持っている場合を研究している。その結果の一部は現在投稿中である。
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