重調和擬過程のpathの境界での挙動の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640128
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 西岡 國雄 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (60101078)
• 研究分担者: 佐藤 定夫 東京電機大学, 理工学部, 助教授 (10170747) ; 志村 道夫 東邦大学, 理学部, 教授 (90015868) ; 鷲見 直哉 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (50301411) ; 青木 統夫 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (60087020)
• キーワード: 重調和作用素 / 弱い意味での確率積分 / Girsanovの公式 / 4階非線形偏微分方程式 / 確率解 / 安定点 / カオス / 無限次元力学系

研究概要

重調和作用素,-△^2,は弾性論や流体力学で重要な役割を果たしている.重調和作用素の性質を確率論の視点から調べるために,それを生成作用素とする“確率擬過程"を考え,BPPと呼ぶ.BPPの構成方法は,概ね,(i)Funaki-Burdzy-Madrecki等によるiterated Brownian motinと(ii)Krylov-Hochberg-Nishioka等による確率擬過程の方法がある.本年度は,この両方法での“BPPの確率解析の可能性とそれの応用"を調べるための情報収集/国際共同研究を行った.
1. 西岡,志村,佐藤等とA.Madrecki(ポーランド)により,“BPPの確率積分,Itoの公式,Girsanovの公式,の定義と応用"をテーマとした国際共同研究により,Kuramoto-Sivashinnski方程式などの非線形方程式の確率解が構成できることが判明した.この確率解は係数の僅かの変化によりその性質が大きく変わるなどの著しい性質を持つが,これらの結果は,「確率過程とその周辺」などのシンポジウムで発表した.
2. 上記の確率解は,無限次元空間上の力学系を与える.青木,鷲見はそれを有限次元空間上力学系ーへノン型写像ーとして扱った.この写像は微分同相写像であるが、より低次元の空間上で定義される非可逆可微分写像の摂動としてあたえられる.そして,エルゴード理論の立場から、そのカオス現象を解析した.この結果は,「ランダム力学系とその応用」などのシンポジウムで発表した.
3. 佐藤,志村はBrown運動で,“矩形領域からの脱出時間の分布"を調べた.この結果はProc.Japan Acad.に発表予定であるが,研究の次の段階として,これらの結果の“BPPの脱出時間の分布"への応用を調べている.

研究成果

• [文献書誌] K.Nishioka: "The first hitting time and place of a half-line by a biharmonic pseudo process" Japan.J.Math.23. 235-280 (1997)
• [文献書誌] K.Nishioka: "Monopoles and dipoles in a biharmonic pseudo process" Proc.Japan Acad.72A. 47-50 (1996)
• [文献書誌] N.Sumi: "A class of toral differentiable maps which are topologically mixing" Proc.Amer.Math.Soc.to appear. (1999)
• [文献書誌] N.Sumi: "Diffeomorphisms approximated by Anosov on the 2-torus and their SBR measures" Trans.Amer.Math.Soc.to appear. (1999)
• [文献書誌] S.Sato and M.Yor: "Computations of moments for discounted Brownian additive functionals" J.Math.Kyoto.Univ.38. 475-486 (1998)
• [文献書誌] M.Shimura: "Exit probability of two-dimensional random walk from the quadrant" Proc.Japan Acad.to appear. (1999)
• [文献書誌] 岡部恒春,西岡國雄, et al: "数学英和小辞典" 講談社サイエンティフィック(出版予定), (1999)