超幾何微分方程式系の代数解析的・表現論的研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640146
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 齋藤 睦 北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授 (70215565)
• 研究分担者: 渋川 陽一 北海道大学, 大学院理学研究科, 助手 (90241299) ; 山下 博 北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授 (30192793) ; 山田 裕史 北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授 (40192794)
• キーワード: 超幾何系 / ホロノミック系 / グレブナー基底 / ワイル代数

研究概要

齋藤睦は、カリフォルニア州立大学バークレー校のSturmrfels氏及び神戸大学の高山信毅氏と共同で、一般の(正則)ホロノッミク系に関する幾つかの重要な結果を得、その応用としてA-超幾何系に関する詳細な解析を行った。
一般の(正則)ホロノミック系に対する結果として、ホロノミック系のイニシャル系の解空間の次元は、元のホロノミック系の解空間の次元以下であり、正則の場合は両者は等しくなるということを示した。これは、一変数の場合の類似から誰しもが漠然と予想していたことであるが、正確な証明については、柏原正樹氏による正則ホロノミック系の特別なイニシャル系の解空間の次元が元の正則ホロノミック系の解空間の次元に等しいことの証明があるだけだった。
また、正則ホロノミック系の場合、そのイニシャル系の解から元の正則ホロノミック系の解を構成する幾つかの方法を得ることができた。そのうちの一つは一変数の場合のフロベニウスの方法の一般化となっている。
4-超幾何系については、その解空間の次元がAの凸包の体積以上であるということを示した。また、パラメータがジェネリックなときには解空間の次元が凸包の体積と等しくなること、及び解空間の次元が凸包の体積と等しくなるためのパラメータに関する具体的な十分条件を与えた。山田裕史は、明海大学の中島達洋氏と共同で、アフィンリー環の基本表現とQ-関数との関連をヤング図形の組合せ論を用いて記述した。
山下博は、半単純リー群の離散系列表現の随伴多様体を勾配型不変微分作用素を用いて記述した。

研究成果

• [文献書誌] Mutsumi SAITO: "Hypergeometric polynomials and integer programming" Compositio Mathematica.
• [文献書誌] Mutsumi SAITO: "Grobner deformations of regular holonomic systems" Proceedings of the Japan Academy Ser A. 74・7. 111-113 (1998)
• [文献書誌] Tasuhiro Nakajima: "Higher Specht polynomials for the complex reflection group G (r.p.n)" Hokkaido Mathematical Journal. 27. 505-515 (1998)
• [文献書誌] Hiro-Fumi Yamada: "Schur′s Q-functions and affine Lie algebras of type D^<(2)>_<e+1>" Proc.of"10-th Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics". 497-502 (1998)
• [文献書誌] Hiroshi Yamashita: "Description of the associated varieties for the discrete series representations of a semisimple Lio group" Comment.Math.Univ.St.Paul.47. 35-52 (1998)
• [文献書誌] Akihiko Gyoja: "Associated variety, Kostant-Sekiguchi correspondence, and locally free U (n) -action on Harish-Chandra modules" J.Math.Soc.Japan. 51. 129-149 (1999)