超幾何微分方程式系の代数解析的・表現論的研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640146
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 齋藤 睦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70215565)
• 研究分担者: 渋川 陽一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助手 (90241299) ; 山下 博 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30192793) ; 山田 裕史 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40192794)
• キーワード: 超幾何系 / ホロノミック系 / リー環 / グレブナー基底 / ワイル代数

研究概要

予定していた外国出張は、日程が合わずに行かれなかったが、国内における内外の研究者との交流などにより、以下のような成果を得た。
齋藤睦は、B.Sturmfels氏、高山信毅氏と共同で、D-加群のグレブナー変形について研究し、それをA-超幾何系の研究に応用した。特に、A-超幾何系のランク(解空間の次元)がAの成す凸包の体積に等しくなるための具体的な十分条件を与えた。また、A-超幾何系のパラメータを対応するA-超幾何系のD-加群としての同型類で分類するという問題に対して組合せ論的解答を得た。
山田裕史は、Q-函数とアフィンリー環との関係について研究を進めた。具体的には、Q-函数を冪和対称函数たちの多項式として表示したものはあるアフィンリー環の基本表現を多項式環上に実現したときのウエイトベクトルになることを見出し、与えられたQ-函数がどのウエイト空間に属するかを、ヤング図形の組合せ論を用いて明かにした。
山下博は、既約Harish-Chandra加群を実現する種々の模型を、リーマン対称空間上の勾配型微分作用素を用いて記述することを目標にした研究を実施した。まず、Borel-de Siebenthal離散系列の主系列表現への埋め込みを特定した。また、離散系列、ユニタリ最高ウェイト表現について、その随伴サイクルが、双対Harish-Chandra加群を核空間として実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述できることを明らかにした。
渋川陽一は、河澄響矢氏と共同でRuijsenaars-Schneiderのdynamicalな可積分系のLax表示に関するBruschi-Calogeroの微分方程式の全ての有理型関数解を求めた。

研究成果

• [文献書誌] Mutsumi Saito: "Hypergeometric polynomials and integer programming"Compositio Mathematica. 115,2. 185-204 (1999)
• [文献書誌] Susumu Ariki: "Reduced Schur functions and Littlewood-Richardson coefficients"Journal of London Mathematical Society (2). 59. 396-406 (1999)
• [文献書誌] Tatsuhiro Nakajima: "Schur's Q-functions and twisted affine Lie algebras"Advanced Studies in Pure Mathematics.
• [文献書誌] Akihiko Gyoja: "Associated variety, Kostant-Sekiguchi correspondence, and locally free U(w)-action on Harish-Chandra modules"J. Math. Soc. Japan. 51. 129-149 (1999)
• [文献書誌] Hiroshi Yamashita: "Generalized Whittaker models and n-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"数理解析研究所購究録「群の表現および非可換調和解析」.
• [文献書誌] Youichi Shibukawa: "The meromorphic solutions of the Bruschi -Calogero equation"Rublications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 36.
• [文献書誌] Mutsumi Saito: "Grobner deformations of hypergeometric differential equations"Springer-Verlag. 254 (2000)