| 研究概要 |
Appell-Lauricellaの超幾何関数F_D(λ,x)((λ=λ_0,λ_1,・・・,λ_<n+1>),x=(x_1,X_2,・・・,X_n))を解の一つとする超幾何微分方程式HGDE_<n,λ>の解基底の多価関数としての定義域
D_n:={X∋:C^n|X_i≠X_j,0,1}
の基本群π_n、は本質的に色付き組紐群CB_<n+2>と同型であり、従ってHGDE_<n,λ>のモノドロミ一群M_<n,λ>は自然にCB_<n+2>のn+1次元線形表現ρ_<n+1,λ>を与えるが、それは忠実であると予想されている。これは次の命題と同値である:
HGDE_<n,λ>の解基底の一価関数としての定義域は単連結である。
n=1の場合の証明は既知だが、今回n=2の場合の証明の手がかりをつかんだので、その方針をまとめて1998年に安東で開催された第6回国際解析会議で以下のように発表した。
1. HGDE_<2,λ>の解をY:={X_2=const.}に制限したときのモノドロミー群をGとするとM_<2,λ>=_G×M_<1,λ>である。ρ_<3,λ>の忠実性は既知なので、ρ_<4,λ>|Gの忠実性を証明すれば十分である。
2. λ_<(3)>=(2/3,1/3,2/3,2/3)の場合HGDE_<2,λ(3)>の解基底の一価定義多様体の完備化Z_<λ_<(3)>>は単連結である。lをZ_<λ_<(3)>>∩Yの任意の閉曲線とするとき、もしlが0-homologousならば、Z_<λ_<(3)>>∩Y上で0-homotopicであることを、Z_<λ_<(3)>>上でのhomotopyをZ_<λ_<(3)>>∩Y上でのそれに写すことによって証明し、次いでZ_<λ_<(3)>>∩Y上で0-homotopicならば、一般のλに対してもそうであることを示す。
3. D_<2,λ>∩Y上の閉曲線がρ_<2,λ>により単位元に写されるならば、Z_<λ_<(3)>>∩Y上の曲線として0-homologousであることを証明する。現在は詳細な証明を仕上げる途中である。
|
