| 研究概要 |
n変数Appell-Lauricellaの超幾何関数F_<D,n>の定義域D_n:= {x ∈ C^n|x_i ≠x_j,0,1}の基本群π_nが本質的にn+2次のcolored braid group CB_<n+2>と同型であることと、F_<D,n>のモノドロミー群がπ_nのn+1次元線形表現ρn(以後、超幾何表現と呼ぶ)を与えることを用いて、次の予想を証明することを目標に研究を進めた。
予想 超幾何表現ρnはfaithfulである。
今回はn=2の場合に限定した。得られた結果は次の通りである。
補題G=CB_4はA_<ij>(0 【less than or equal】<j【less than or equal】3)により生成されるが、A_<03>,A_<13>,A_<23>により生成される部分群をHとすると、GはHの正規部分群であり、商群G/HはCB_3と同型である。また、Gの表現ρ2は商G/Hを通じてρ1の超幾何表現を与える。
ρ1のfaithfulnessは既知なので、当初の問題はρ2のHへの制限のfaithfulnessに帰着され、それは領域D_n上の閉曲線がある代数曲線上の閉曲線を与えること、全ての第一種微分のその閉曲線に関する周期が0となること、この特殊な閉曲線の場合0-homologousならば0-homotopicであることにより解決される見通しである。この結果は、8月に福岡で開かれた第2回ISAAC総会でのOn the hypergeometric linear representation of the group of colored four braidsと題する講演で発表した。ρnのfaithfulnessの証明はn=4の場合が本質的で、一般のnの場合も同様な方法で解決されるものと思われる。
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