研究概要 |
この研究はRiemannのζ関数をBohr群K上へ拡張し,関数環論とエルゴード理論を用いてζ関数の平均値定理やcritical stripでの零点密度の評価を考察する試みである.まずKを{logr;rは正の有理数}で生成される離散群Γのコンパクトな双対群とする.このときK上に自然な位相同型の1係数群{T_t}_<t∈R>が定義される.ここで1/2<uを固定し, Zu(x)=Σ<∞/n=1>(n^u/1)Xlogn(x),x∈K, とする.このときt→Zu(T-_t0)はζ(u+it)となりζ関数のH^2(K)内の関数への拡張となる.またZu(x)はH^2(K)の外部関数となる. 流れ(K,{T_t}_<t∈R>)のもつエルゴード性とRoucheの定理より,Riemannのζ関数のつぎのような(弱いが)一般的な平均値定理が成り立つ: 定理 任意の0<p<∞および0<lを定める.このときZ^+の適当な密度零の部分集合Jが存在し,以下の式がなりたつ: lim__<J∋N→∞>1/(Nl) Σ<N-1/n=0>∫^<(n+1)l>_<nl>|ζ(u+it)|^<-p>dt=∫_K|Z_μ(x)|^<-p>dσ(x), さらに同様の式が正のべき|ζ(u+it)|^pに対しても成立する. この結果はLindelof仮説がζ関数のごく狭い範囲にその難点が起因していることを示している.
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