| 研究概要 |
この研究はRiemannのζ関数をBohr群K上へ拡張し,関数環論とエルゴード理論を用いてζ関数の平均値定理やcritical stripでの零点密度の評価を考察する試みである.まずKを{logr;rは正の有理数}で生成される離散群Γのコンパクトな双対群とする.ここで1/2<uを固定し,
【numerical formula】
とする.このときZ_u(x)はζ関数のH^2(K)内の関数への拡張となりH^2(K)の外部関数となる.これらの性質を利用し概周期的流れ(K,{T_t}t∈R)のもつエルゴード性とRoucheの定理から,Riemannのζ関数のつぎのような(弱いが)一般的な平均値定理が導かれる:
定理 任意の0<p<∞および0<lを定める.このときZ^+の適当な密度零の部分集合Jが存在し,以下の式がなりたつ:
【numerical formula】
また同様の式が正のべき|ζ(u+it)|^pに対しても成立する.
この結果はLindelof仮説がζ関数のごく狭い範囲にその難点が集中していることを示している.さらにこれらの考察で得られた手法を利用し群上の不変部分空間の単一生成元問題について,H^2_0(K)は単一生成元を持つ,という結果を得た.
|
