| 研究概要 |
本研究の目的は、作用素論における古田不等式の研究である。古田不等式はそのユニークな形と証明方法で注目を浴びてから,様々な方向の応用、発展されてきている。ここでは、まず、古田不等式が、ヒルベルト空間上の有界線形作用素の場合だけでなく、Banach ^*-algebraの場合も、同様に成立することを証明した。証明には、新しい補題を開発する必要があったが、面白い証明が得られた。この方面の結果は、応用が多いと思われるので、更に、継続して調べる価値がある。
次にp-hyponormal operatorの拡張としてlog-hyponormal operatorという新しい作用素のクラスを見つけ、Aluthge変換を用いて、log-hyponormal operatorの面白い性質をいくつか調べた。ここではlog-hyponormal operatorのAluthge変換が、ちょうどp-hyponormal operatorのp=0に対応する性質を持つことを示した。また、log-hyponormal ooperatorに関するPutnam不等式も得られることができ、それは、やはりp-hyponormal operatorのPutnam不等式のp=0に対応していることがわかった。また、log-hyponormal operatorのangular cuttingがp-hyponormal operatorと同様に可能であることを証明した。また、一般の作用素のAluthge変数の性質を調べ、log-hyponormal operator, p-hyponormal operatorの場合に応用することができた。
巾が負の古田不等式のbest possibilityはいぜんとして未解決である。ただ、否定的に解決できるであろうという有力な証拠が、古田らによって見つけられたので、解決は時間の問題であると思われる。今後も解決に向けて取り組みたい。
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