| 研究課題/領域番号 |
10640201
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
井上 淳 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40011613)
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| 研究分担者 |
村田 実 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50087079)
磯部 健志 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (10262255)
野村 祐司 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40282818)
盛田 健彦 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (00192782)
伊藤 秀一 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90159905)
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| キーワード | スーパー解析 / ファインマン問題 / ランダム行列理論 / 行列積分 / 血秩序系 / グラスマン変数 / スピン / パンルべ方程式 |
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| 研究概要 |
Feynmanの経路積分は存在しない測度を用いているとする悪評もあるが、Schrodinger方程式の基本解の積分表示とみなすことができる(一つの数学的正当化が藤原によって与えられている)。ところで、Schrodinger方程式と同様の考察でDirac方程式の経路積分表示ができるか、というのがFeynmanの問題であった。
Martinの試みがあったが、それとは独立にBerezinは光子と電子を同等に扱う基盤として新しい変数(Grassmann)を用いた解析の必要性を提唱した(これはFeynman自身の予測「Dirac方程式の経路積分表示には、例えば4元数を用いた解析が必要になろう」に対応する)。
多くの人々のBanach-Grassmann代数を"基礎体"とする空間上の微積分ではなく、筆者は前田と共に10年程前に加算無限個の生成元を用いたFrechet-Grassmann代数を"基礎体"とする空間(スーパー空間といい〓^<m|n>と書く)上の微積分、実解析を作り上げた。
これを用いて、定数係数の偏微分方程式系のFeynman流の基本解の作り方、即ち、偏微分方程式系に対応するHamilton-Jacobi方程式を定義し、その解を相関数とするスーパー空間上のFourier積分作用素で偏微分方程式系の基本解を表示した(配位空間上の関数を要素とする行列を如何にしてHamilton関数とみなし、それから古典力学を構成するかが本質的問題。そのHamilton方程式の解の構成、評価にはFrechet-Grassmann代数を"基礎体"として用意したことが役立つ)。更に、最も簡単な変数係数偏微分方程式系の例として、電磁気ポテンシャルを付け加えたWeyl方程式のパラメトリックスを上で述べた方法で構成した。
これらとは全く独立の問題であるランダム行列理論へのスーパー解析の応用が1983年Efetovによって見い出され、多くの結果が物理学者によって得られている。但し、彼等のスーパー行列を用いた積分表示、鞍点法を用いた計算の数学的な意味付けは不十分であった。野村裕司の協力を得て、有名なガウス型ランダム行列に対するWignerの半円則のスーパー解析を用いた物理学者による導出に対して厳密な数学的意味を与えた。
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