| 研究概要 |
Hilbert空間H空間における時間依存する半線形発展方程式
(E) du(t)/dt=Au(t)+F(t,u(t))
に対する慣性多様体の存在、滑らかさ、近似について研究し、その結果を、Kuramoto-Sivashinsky 方程式、Chan-Hilliard 方程式などの数値計算の理論に応用した。ここで、A は Hにおける解析的半群の生成作用素、F:R×H^α→H,0【less than or equal】α<1,(H^α=D(A^α)はAの分数べきA^αのグラフノルムを持ったHilbert空間)である。定理 次の(Al)-(A4)を仮定する。(Al)全ての実数omegaに対してλ+iwがリゾルベント集合p(A)に属するような実数lambdaが存在する。(A2)F(t,x)はxについてFrechet微分可能、D_xF(t,・):H^α→H は一様連続、かつ||D_xF(t,x)y||【less than or equal】Σ^^m__<j=1>||Bjy||,x,yεH^α,t∈R
を満たすBj∈B(H^α,H),j=1,2,・・・,mが存在する。(A3)f∫^0_<-∞>||e^<ut>F(t,0)||^2dt<∞を満たす μ<λ が存在する。(A4)Σ^m_<j=1>Sup_w||B_j(A-λ-iw)^<-1>||<1.このとき、(E)はC^1級の慣性他様体M(t)を持つ。定理 各nに対して半線形発展方程式
(En) du(t)/dt=Anu(t)+Fn(t,u(T))は仮定(Al)-(A4)をnについて一様に満たし、さらに次を満たすとする。(A4)n→∞のとき、(An-v)^<-1>z,Fn(t,x)→F(t,x),DFn(t、x)y→DF(t、x)y,x、y∈H^α,z∈H.(H5)(An-v)^<-1>(A-μ)^<-1>-1=(A-μ)(An-v)^<-1>このとき、(En)に対する慣性多様体Mn(t)はC^1位相で(E)に対する慣性多様体M(t)に収束する。仮定(Al)-(A6)はこれまでに用いられていた上意見より条件より応用上便
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