| 研究概要 |
非線形双曲型方程式に対する初期値問題について研究している。我々の興味はこの初期値問題に対する大域的理論にある。この問題はまだ完全に解決されていない。その理由の一つは『古典解が大域的に存在しない』、即ち『解に特異点が現れる』為である。また特異点が種々の興味深い現象が現れる要因となっている。従って大域的理論を完成させる為には次の2つの問題『(1)古典解が存在する領域を明確に記述すること,(2)特異点を越えて解を延長すること』を解決しなければならない。では特異点をどう処理するか?例えば代数幾何学においてよく用いられている手法を思い出してみよう。それは「特異点を消す」のである。実際、高次元空間に持ち上げれば「代数多様体の特異点を消すことが出来る」というのが有名な「広中の定理」である。解析学においてもこの考え方を応用する。即ち高次元空間に持ち上げて特異点を消す。こうして得られた解を「幾何学的解」とよぶ。その解は滑らかなので古典理論により高次元空間において一意的に解を延長することが出来る。最後に解を元の空間に射影するのである。この過程において接触幾何学の概念や特異点論の結果が必要となる。先ず最初に上記の手法により単独1階非線形偏微分方程式を研究した。この成果を1999年に米国において出版した著書に詳しく解説した。未解決の問題は残っているが原理は理解出来たので、数年前から2階非線型双曲型偏微分方程式について研究を始めた。或る場合には幾何学的解を大域的に構成することが出来た。そしてその解を基空間に射影するとどういう弱解が得られるかを検討した。これらの成果を纏めたのが"Acta Mathematica Vietnamica"に出版される予定の論文である。今後の課題は「2階非線形双曲型方程式に対する幾何学的理論を完全にすること、及び方程式を一般化すること」である。
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