| 研究概要 |
今年度,次の研究を行った.
1. 正標数の代数閉体上に定義された,2次元以上の射影多様体の射影空間への埋め込みに対するガウス写像の研究した.特に,ガウス写像の分離次数が1より大きくなる場合が実際に起こるか調べた.この現象は,正標数の射影多様体にのみ起こり,2次元以上の場合には,ほとんど知られていなかった.本研究により,次の結果を得た.
(1). ガウス写像の分離次数が1より大きな,一般型ではない小平次元非負の非特異射影多様体が存在する.
(2). ガウス写像の分離次数が1より大きな,一般型の正規射影多様体が存在する.
(3). 射影空間をある方法で次元の大きな射影空間へ埋め込むと,ガウス写像の像が一般型の多様体となる.
今後,一般型の非特異射影多様体でガウス写像の分離次数が1より大きなものが存在するかどうか調べること,また,ガウス写像の分離次数が1より大きな状況を特徴づけることが,課題である.
2. 空間射影曲線から得られるヒルベルト関数とgeneric initial idealにはどのようなものがあり得るかを調べた.まず,空間曲線の定義イデアルが与えられたときに,generic initial idealを予想するプログラムを,数式処理ソフト上で作成した.これを用いて,予想されるgeneric initial idealを,いくつかの曲線について計算した.この結果,ある条件の下に成立しそうな現象をいくつか見つけることができた.これらの予想をもとに,さらに例の計算を続けるとともに,成立しそうな現象を証明していくことを次の課題とする.
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