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今年度は、主にp進体上の開多様体のp進エタール・コホモロジーとクリスタリン・コホモロジー、ド・ラム・コホモロジーの比較について、サンドミック・コホモロジーを用いて研究する計画であった。主な問題は、コンパクト台付きのサントミック・コホモロジーを定義し、それとフンパクト台付きのp進エタール・コホモロジーとの間の同型を示すことである。(コンパクト台付きでない場合は完成済み。)しかしながら、コンパクト台付きのサントミック・コホモロジーを与えるようなサントミフク・サイト上の層を構成することが、当初考えていたよりもかなり難しく、残念ながら計画を達成することはできなかった。来年度も研究を継続する予定。今年度得られた主な結果は次の2つ。
1 複素数体上のいわゆるホッヂ理論では、ボワンカレの補題によってC係数の特異コホモロジーとド・ラム・コホモロジーの同型が示される。このボワンカレの補題の、p進ホッヂ理論のクリスタリン予想(今では定理)における類似を得た。証明にはG.Faltingsのalmost etale理論を用いる。応用として、クリスタリン予想の別証明や、十分小さなsmooth ring例えば局所環に対する、p進クリスタリン表現に係数をもつ幾何的基本群のガロア・コホモロジーの計算がある。残りの数論的な部分つまりp進体の絶対ガロア群のガロア・コホモロジーについて、これから研究する予定。
2 各成分がsemi-stableな退化を持つような(truncated)simplicial schemeに対する比較定理:Semi-stable予想を証明した。これにより、P.DeligneのTheorie de Hodge IIIのp進ホッヂ理論における類似が完備な多様体の場合は完成したといえる。
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