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実シンプレクティック群の許容表現に関する球関数ー主偏極アーベル多様体のモジュライ上の実調和的微分形式に対応する保型形式というのが存在する。これはいわゆる正則なジーゲル保型形式を含み、幾何的に見ても標準的なクラスをなすと考えられる。実際の実調和性は実シンプレクテイック群の導来函手加群の性質によって記述されることが、松島・村上理論としてボレル、ズッカーマン、ボーガンなどの研究を経て明らかになってきた。このような表現の性質を保型形式の研究に応用するために、表現のさまざまな球関数空間への実現を決定することは有効な研究方向である。筆者は今年度の研究において、シンプレクティック群のホイタッカー球関数実現に関して詳しく調べ、その実現の有無・性質について、それぞれの導来函手加群に対して具体的な結果を得ることが出来た。特に、群の表現論における一つの研究指針:表現とリー環の冪零軌道との対応原理、にしたがって、ホイタッカー球関数実現の存在性などを特徴付けたいという試みがあるが、これについて、2次のシンプレクティック群という一個のみの対象についてではあるが、表現に対して定義される波面集合という冪零軌道によって、よい実現の存在性が特徴づけられるという結果を得た。この主張の記述自体は、一般の半単純群の表現に関する自然な概念を用いてなされるものであり、そのまま予想として定式化して差し支えないものと考えている。またこの結果を得るに至った方法は、定性的記述には群を特定する必要はほとんどないと思われるので、必要な定性的な点のみを抽出して十分に記述する方法をつくることが望まれると考えている。
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